Em cada um dos itens abaixo, calcule a solução geral do sistema de equações.
$x^{\prime}=\left( cc3 & 6 -1 & -2\right) x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar a solução geral do sistema de equações diferenciais
x' ;=; 3 & 6 -1 & -2 x
Isso cai em “sistemas lineares de EDOs” e, pra resolver, vamos precisar do polinômio característico, dos autovalores e dos autovetores da matriz.

Passo 2

Teoria rapidinha: a gente tenta uma solução do tipo
x(t)=v,e^lambda t
Substituindo em x'=Ax
lambda,v,e^lambda t=A,v,e^lambda t Longrightarrow (A-lambda I),v=0
Pra ter vetor vneq0 a determinante de A-lambda I tem que ser zero. Então escrevemos
det!l(3&6-1&-2-lambda Ir) =det3-lambda&6-1&-2-lambda

Passo 3

Calculando esse determinante:
(3-lambda)(-2-lambda)-6cdot(-1) =l(lambda^2-lambda-6r)+6 =lambda^2-lambda =lambda(lambda-1)
Logo os autovalores são
lambda1=0, lambda2=1

Passo 4

Agora achamos os autovetores:
  1. Para , :
Escolhemos .
  1. Para , :
Escolhemos .

Passo 5

Como os autovalores são distintos, a solução geral é a combinação linear
x(t) = C1,v^(1),e^0,t ;+; C2,v^(2),e^1,t = C1-21 + C2-31e^t

Resposta

boxed x(t)=C1-21 ;+; C2-31,e^t, C1,C2inR

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