Em cada um dos itens abaixo, calcule a solução geral do sistema de equações.
$x^{\prime}=\left( ccc1 & 1 & 1 2 & 1 & -1 -8 & -5 & -3\right) x

Passo 1

Beleza, o exercício pede a solução geral do sistema de EDOs lineares de 1ª ordem
x' ;=; A,x, A=1&1&12&1&-1-8&-5&-3
O conteúdo aqui é usar autovalores (eigenvalues) e autovetores (eigenvectors):
  1. calcular o polinômio característico det(A-lambda I);
  2. achar cada lambda;
  3. para cada lambda, resolver (A-lambda I)v=0 (Gauss) pra achar v;
  4. montar a solução geral na forma
x(t)=sumi=1^3 Ci,e^lambdai t,vi

Passo 2

Calculando o característico:
det(A-lambda I) =det 1-lambda&1&1 2&1-lambda&-1 -8&-5&-3-lambda =(lambda+1)(lambda-2)(lambda+2)=0
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lambda1=-1, lambda2=2, lambda3=-2

Passo 3

Para [\lambda_1=-1), resolvemos :
Eliminação de Gauss mostra que . Da segunda equação , da primeira . Escolhendo para evitar frações,

Passo 4

Para [\lambda_2=2), resolvemos :
Eliminação leva a . Seja , então

Passo 5

Para [\lambda_3=-2), resolvemos :
Em Gauss . Aí e . Escolhendo ,

Passo 6

Com tudo pronto, a solução geral é
x(t) =C1e^-tv1 +C2e^2tv2 +C3e^-2tv3

Resposta

x(t) =C1e^-t-342 ;+; C2e^2t0-11 ;+; C3e^-2t-457

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