[Q2] Considere a função:
(a) (2.0 pontos) Mostre que f é contínua em (0,0).
f(x, y)=ll sin (x^4+y^4)x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
(b) (1.5) pontos) Calcule a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto $(0,0,0).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracsinl(x^4+y^4r)x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0),
e pede (a) provar que f é contínua em (0,0) e (b) determinar o plano tangente ao gráfico de f em (0,0,0). Para (a) iremos usar o Teorema do Confronto com a desigualdade lvertsin trvert<=lvert trvert, e para (b) calcularemos as derivadas parciais em (0,0) e aplicaremos a fórmula do plano tangente.]

Passo 2

Para mostrar continuidade em (0,0) precisamos verificar
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0
Usando lvertsin trvert<=lvert trvert com t=x^4+y^4, obtemos, para (x,y)neq(0,0),
llvert f(x,y)rrvert =llvertsin(x^4+y^4)rrvertx^2+y^2 <=lvert x^4+y^4rvertx^2+y^2
Como
x^4+y^4<=(x^2+y^2)^2,
segue
x^4+y^4x^2+y^2<= x^2+y^2 Longrightarrow llvert f(x,y)rrvert<= x^2+y^2
Como x^2+y^2to0 quando (x,y)to(0,0), pelo Teorema do Confronto concluímos
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0,
ou seja, f é contínua em (0,0).

Passo 3

Para o plano tangente calculamos as derivadas parciais em (0,0) pela definição:
fx(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0sin(h^4)/(h^2)h =limhto0sin(h^4)h^3
Como lvertsin(h^4)rvert<=lvert h^4rvert, temos
llvertsin(h^4)h^3rrvert<=lvert hrvertto0,
logo fx(0,0)=0. De modo análogo, trocando x por y, encontra-se
fy(0,0)=0

Passo 4

A equação geral do plano tangente ao gráfico de f em (0,0,0) é
z = fx(0,0),x + fy(0,0),y + f(0,0)
Substituindo fx(0,0)=0, fy(0,0)=0 e f(0,0)=0, obtemos
z = 0

Resposta

A equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (0,0,0) é
z = 0

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