Sabendo que y=f(x), use a derivação implícita para calcular d yd x.
e^x^2 y=x+y

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
e^x^2y = x + y
e pede dydx. O conteúdo é derivação implícita, em que vamos usar a regra da cadeia para e^u e a regra do produto para u = x^2y.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x, comece pelo lado esquerdo. Se u(x)=x^2y, então
ddxl(e^ur) = e^u,dudx
Agora calcule dudx usando produto x^2cdot y:
dudx = ddx(x^2)cdot y + x^2cdot dydx = 2x,y + x^2,dydx
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ddxl(e^x^2yr) = e^x^2yl(2x,y + x^2,tfracdydxr)
No lado direito, ddx(x+y)=1+dydx.

Passo 3

Igualando as derivadas dos dois lados, obtemos
e^x^2yl(2x,y + x^2,tfracdydxr) = 1 + tfracdydx
Agrupando os termos que envolvem tfracdydx numa mesma lado:
e^x^2y,x^2,tfracdydx - tfracdydx = 1 - 2x,y,e^x^2y
Colocando tfracdydx em evidência:
l(e^x^2yx^2 - 1r)dydx = 1 - 2x,y,e^x^2y

Passo 4

Basta dividir ambos os lados por l(e^x^2yx^2-1r), obtendo a derivada buscada.

Resposta

dydx = 1 - 2x,y,e^x^2yx^2e^x^2y - 1

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