Em cada um dos itens abaixo, considere a função
e o vetor
e calcule
.
(1,25 ponto) a)
, em que
é uma transformação linear auto-adjunta (ou seja,
para todo
. Isto equivale a dizer que a matriz que representa
na base canônica de
satisfaz
para todo
).
(1,25 ponto) a)
Passo 1
O enunciado pede calcular a derivada direcional
para
para
once
é auto-adjunta.
Conteúdo necessário: definição de derivada direcional via diferencial, regra da cadeia e diferencial de forma bilinear simétrica.
Conteúdo necessário: definição de derivada direcional via diferencial, regra da cadeia e diferencial de forma bilinear simétrica.
Passo 2
Definimos
Como
é uma forma quadrática associada à forma bilinear simétrica de
, seu diferencial em direção
vale
Mas
é auto-adjunta, logo
. Portanto
Passo 3
Agora aplicamos a regra da cadeia a
A derivada direcional de
em
é
Passo 4
Substituindo
e
em
temos