Em cada um dos itens abaixo, considere a função f: R^n R e o vetor v in R^n e calcule partial fpartial v(x).
(1,25 ponto) a) f(x)=lang<= T x, xrang<=^3, em que T: R^n R^n é uma transformação linear auto-adjunta (ou seja, lang<= T y, zrang<== lang<= y, T zrang<= para todo y, z in R^n. Isto equivale a dizer que a matriz que representa T na base canônica de R^n satisfaz ti j=tj i para todo i, j in1, ldots, n ).

Passo 1

O enunciado pede calcular a derivada direcional
partial fpartial v(x)
para
f(x)=lang<= T x, xrang<=^3,
once T é auto-adjunta.
Conteúdo necessário: definição de derivada direcional via diferencial, regra da cadeia e diferencial de forma bilinear simétrica.

Passo 2

Definimos
g(x)=lang<= T x, xrang<=
Como g é uma forma quadrática associada à forma bilinear simétrica de T, seu diferencial em direção v vale
Dg(x)[v]=lang<= T v, xrang<=+lang<= T x, vrang<=
Mas T é auto-adjunta, logo lang<= T v, xrang<==lang<= T x, vrang<=. Portanto
Dg(x)[v]=2,lang<= T x, vrang<=

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia a
f(x)=l(g(x)r)^3
A derivada direcional de f em v é
Df(x)[v]=3,(g(x))^2,Dg(x)[v]

Passo 4

Substituindo g(x)=lang<= T x, xrang<= e Dg(x)[v]=2,lang<= T x, vrang<= em
Df(x)[v]=3,(g(x))^2,Dg(x)[v],
temos
Df(x)[v] =3,lang<= T x, xrang<=^2;l(2,lang<= T x, vrang<=r) =6,lang<= T x, xrang<=^2,lang<= T x, vrang<=

Resposta

partial fpartial v(x) =6,lang<= T x, xrang<=^2,lang<= T x, vrang<=

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