Em cada um dos itens abaixo, é dada uma função definida em um intervalo fechado [a, b]. Depois de encontrar os pontos críticos da função no intervalo (a, b), determine os pontos de máximo e mínimo (global) de cada uma delas.
(b) f(y)=1-|y-1|, y \in[0,2]

Passo 1

O enunciado dá a função
f(y)=1 - |y-1|, \quad y\in[0,2]
e pede para achar os pontos críticos em (0,2) e, em seguida, determinar os pontos de máximo e mínimo global no intervalo dado.

Passo 2

Para identificar pontos críticos, escrevemos f\) de modo piecewise e calculamos a derivada onde existe. Note que \[|y-1| = \begin{cases} 1-y, & y\le1,\\\ y-1, & y\ge1, \end{cases}
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f(y)=1 - |y-1| = \begin{cases} 1 - (1-y) = y, & y\le1,\\\\ 1 - (y-1) = 2 - y, & y\ge1. \end{cases}
Dessa forma
f'(y)=\begin{cases} 1, & y<1,\\\\ -1, & y>1, \end{cases}
e em y=1\] a derivada não existe (cusp). Assim, o único ponto crítico em \((0,2) é y=1.

Passo 3

Agora avaliamos f nos pontos críticos e nos extremos do intervalo:
f(0) = 1 - |0-1| = 0, \quad f(1) = 1 - |1-1| = 1, \quad f(2) = 1 - |2-1| = 0.

Passo 4

Comparando os valores:
  • O maior valor de f é 1 em y=1, logo é máximo global.
  • O menor valor de f é 0 em y=0 e y=2, logo são mínimos globais.

Resposta

Máximo global: (1,1)
Mínimos globais: (0,0) e (2,0)

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