Em cada um dos itens abaixo, é dada uma função definida em um intervalo fechado [a, b]. Depois de encontrar os pontos críticos da função no intervalo (a, b), determine os pontos de máximo e mínimo (global) de cada uma delas.
(e) f(x)=\ln (1+x), x \in[0,3]

Passo 1

Temos a função
f(x)=\ln(1+x),\quad x\in[0,3],
que é contínua em [0,3] e derivável em (0,3). O objetivo é achar os pontos críticos em (0,3) e, depois, determinar onde f atinge o máximo e o mínimo globais em [0,3].

Passo 2

Calculamos a derivada para localizar pontos críticos:
f'(x)=\frac{d}{dx}\ln(1+x)=\frac{1}{1+x}.
Como \frac{1}{1+x}\neq0 para todo x\in(0,3), não existem pontos críticos internos.

Passo 3

Observamos que f'(x)=\tfrac1{1+x}>0 em (0,3), ou seja, f é estritamente crescente no intervalo.

Passo 4

Em uma função estritamente crescente, o valor mínimo ocorre no extremo esquerdo e o máximo no extremo direito. Logo,
\min_{[0,3]}f=f(0)=\ln(1+0)=0,
\max_{[0,3]}f=f(3)=\ln(1+3)=\ln4.

Resposta

Mínimo global em x=0, com f(0)=0.
Máximo global em x=3, com f(3)=\ln4.

Exercícios relacionados