Em um tanque de forma cilíndrica despeja-se água à razão de 100 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{min}. Sabendose que o diâmetro da base mede 180 centímetros, com que rapidez varia o nível de água quando a altura do cilindro é 50 centímetros?

Passo 1

O enunciado descreve um tanque cilíndrico no qual a água entra à taxa de \frac{dV}{dt}=100 c m^{3}/min. A base do cilindro tem diâmetro 180 cm, ou seja, raio r=90 cm. Queremos saber com que rapidez o nível de água h(t) varia (isto é, \frac{dh}{dt}) quando h=50 cm. Vamos usar a relação do volume de um cilindro e derivar em função do tempo.

Passo 2

O volume de água em função da altura h é
V = \pi r^2 h.
Como o raio é constante ( r=90 cm), temos
V = \pi \,(90)^2\,h = 8100\pi\,h.

Passo 3

Derivando ambos os lados em relação ao tempo t, obtemos
\frac{dV}{dt} = 8100\pi\,\frac{dh}{dt}.
Sabemos que \frac{dV}{dt}=100 c m^{3}/min. Substituindo,
100 = 8100\pi\,\frac{dh}{dt}.

Passo 4

Isolando \frac{dh}{dt},
\frac{dh}{dt} = \frac{100}{8100\pi} = \frac{1}{81\pi}\quad\text{cm/min}.

Resposta

\displaystyle \frac{dh}{dt} = \frac{1}{81\pi} cm/min

Exercícios relacionados