Integre: \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}(a>0) Passo 1O enunciado pede a integral indefinida \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}},\quad a>0. O conteúdo é integração de função irracional envolvendo raiz de uma quadrática. Para resolver, vamos usar substituição trigonométrica clássica para expressar x em termos de um ângulo \theta. Passo 2Fazemos a substituição x = a\operatorname{sec}\theta, o que implica dx = a\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta \quad\text{e}\quad \sqrt{x^{2}-a^{2}} = \sqrt{a^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta - a^{2}} = a\tan\theta. Essa escolha torna a raiz um termo simples em \theta. Passo 3Substituindo na integral, obtemos \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} = \int \frac{a\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta}{a\tan\theta} = \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta. Sabemos da tabela de integrais que \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \ln\bigl|\operatorname{sec}\theta + \tan\theta\bigr| + C. Passo 4Voltemos à variável x. Como x = a\operatorname{sec}\theta, temos \operatorname{sec}\theta = \frac{x}{a}, \quad \tan\theta = \frac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a}. Logo, \ln\bigl|\operatorname{sec}\theta + \tan\theta\bigr| = \ln\Biggl|\frac{x}{a} + \frac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a}\Biggr| = \ln\bigl|x + \sqrt{x^{2}-a^{2}}\bigr| - \ln a. Incorporando -\ln a na constante de integração, obtemos a forma final. Resposta \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} = \ln\bigl|\,x + \sqrt{x^{2}-a^{2}}\,\bigr| + C. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosIntegre: \int \frac{d x}{x \sqrt{x^{2}-a^{2}}}(a>0) Resolva as integrais: \int \frac{5}{2 x+3} d x Em um tanque de forma cilíndrica despeja-se água à razão de 100 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{min}. Sabendose que o diâmetro da base mede 180 centímetros, com que rapidez varia o nível de água quando a altura do cilindro é 50 centímetros? Em cada um dos itens abaixo, é dada uma função definida em um intervalo fechado [a, b]. Depois de encontrar os pontos críticos da função no intervalo (a, b), determine os pontos de máximo e mínimo (global) de cada uma delas. (b) f(y)=1-|y-1|, y \in[0,2]