Integre:
\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}(a>0)

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}},\quad a>0.
O conteúdo é integração de função irracional envolvendo raiz de uma quadrática. Para resolver, vamos usar substituição trigonométrica clássica para expressar x em termos de um ângulo \theta.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = a\operatorname{sec}\theta,
o que implica
dx = a\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta \quad\text{e}\quad \sqrt{x^{2}-a^{2}} = \sqrt{a^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta - a^{2}} = a\tan\theta.
Essa escolha torna a raiz um termo simples em \theta.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} = \int \frac{a\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta}{a\tan\theta} = \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.
Sabemos da tabela de integrais que
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \ln\bigl|\operatorname{sec}\theta + \tan\theta\bigr| + C.

Passo 4

Voltemos à variável x. Como x = a\operatorname{sec}\theta, temos
\operatorname{sec}\theta = \frac{x}{a}, \quad \tan\theta = \frac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a}.
Logo,
\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta + \tan\theta\bigr| = \ln\Biggl|\frac{x}{a} + \frac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a}\Biggr| = \ln\bigl|x + \sqrt{x^{2}-a^{2}}\bigr| - \ln a.
Incorporando -\ln a na constante de integração, obtemos a forma final.

Resposta

\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} = \ln\bigl|\,x + \sqrt{x^{2}-a^{2}}\,\bigr| + C.

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