Resolva as indeterminações abaixo usando a Regra de L’Hôpital.
(a) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{e^{x-1}-1}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to1}\frac{e^{x-1}-1}{x-1}.
Este é um caso de indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}, pois ao substituir x=1 obtemos e^{0}-1=0 e 1-1=0. Para resolver vamos usar a Regra de L’Hôpital, que diz que se \lim_{x\to a}f(x)=0 e \lim_{x\to a}g(x)=0, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
desde que o limite à direita exista.

Passo 2

Verificamos a forma da indeterminação:
f(x)=e^{x-1}-1\quad\text{e}\quad g(x)=x-1
Tanto f(1)=e^{0}-1=0 quanto g(1)=0, confirmando o tipo \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Calculamos as derivadas:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x-1}-1\bigr)=e^{x-1}, \qquad g'(x)=\frac{d}{dx}(x-1)=1.
Pela Regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to1}\frac{e^{x-1}-1}{x-1} =\lim_{x\to1}\frac{e^{x-1}}{1} =\lim_{x\to1}e^{x-1} =e^{0}=1.

Resposta

1

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