Em cada um dos itens abaixo, dado
um subespaço vetorial de
, encontrar o subespaço suplementar de
, isto é o subespaço
de
tal que
.
para todo
Passo 1
O enunciado pede: em
consideramos
e queremos achar um subespaço
tal que
O conteúdo usado é decomposição de espaços vetoriais em soma direta: precisamos caracterizar
, calcular dim
e então escolher um complemento
de dimensão
.
Passo 2
Se
para todo
, então
é um polinômio de grau no máximo 1, pois a segunda derivada de um polinômio de grau
é zero, e nenhum outro grau satisfaz isso. Logo
o que mostra que
.
Passo 3
Sabemos que
(base canônica
). Para ter
precisamos de
e
. Uma escolha natural é
isto é
Passo 4
Verificamos que
-
, pois o único polinômio que é ao mesmo tempo linear e combinação de é o polinômio nulo. -
, então .
Essas duas propriedades garantem
.