Em cada um dos itens abaixo, dado F um subespaço vetorial de E, encontrar o subespaço suplementar de F, isto é o subespaço G de E tal que E=F oplus G.
E=P3(R), F=p(x) in P3(R) mid p^prime prime(x)=0 para todo x in R

Passo 1

O enunciado pede: em
E = P3(R)
consideramos
F = lpinP3(R)mid p''(x)=0,;forall xinRr
e queremos achar um subespaço Gsubset E tal que
E = Foplus G
O conteúdo usado é decomposição de espaços vetoriais em soma direta: precisamos caracterizar F, calcular dim F e então escolher um complemento G de dimensão dim E-dim F.

Passo 2

Se para todo , então é um polinômio de grau no máximo 1, pois a segunda derivada de um polinômio de grau é zero, e nenhum outro grau satisfaz isso. Logo
o que mostra que .

Passo 3

Sabemos que (base canônica ). Para ter precisamos de e . Uma escolha natural é
isto é

Passo 4

Verificamos que
  1. Fcap G=0, pois o único polinômio que é ao mesmo tempo linear e combinação de x^2,x^3 é o polinômio nulo.
  2. dim F + dim G = 2 + 2 = 4 = dim E, então F+G=E.
Essas duas propriedades garantem E = Foplus G.

Resposta

G = lalpha,x^2 + beta,x^3 mid alpha,betainRr

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