Determine um conjunto de geradores para o subespaço vetorial F, nos seguintes casos:
F=(x, y, z) in R^3 mid x+y-z=0

Passo 1

O enunciado define
F=(x,y,z)inR^3mid x+y-z=0.
Aqui estamos diante do núcleo (kernel) da forma linear
ell(x,y,z)=x+y-z,
logo F=kerell é um subespaço de dimensão 2 em R^3. Nosso objetivo é encontrar um conjunto de vetores que gere esse plano.

Passo 2

Para parametrizar F, resolvemos a equação x+y-z=0 em função de dois parâmetros livres. Por exemplo, escolhemos
x=s, y=t,
com s,tinR. Da equação segue
z = x+y = s + t

Passo 3

Assim, um vetor genérico de F pode ser escrito como
(x,y,z) = (s,,t,,s+t) = s,(1,0,1) ;+; t,(0,1,1)
Isso mostra que todo vetor de F é combinação linear de (1,0,1) e (0,1,1).

Passo 4

Verificamos facilmente que (1,0,1) e (0,1,1) pertencem a F (pois 1+0-1=0 e 0+1-1=0) e são linearmente independentes. Portanto eles formam um conjunto de geradores (na verdade uma base) de F.

Resposta

Um conjunto de geradores para F é
, (1,0,1),;(0,1,1)

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