Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto
é um subespaço vetorial do espaço vetorial
. Em todos os casos, considere as operçãoes usuais.
, onde
é dada e 0 denota a matriz nula em
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
com as operações usuais e
onde
é fixa e
é o vetor nulo em
, é um subespaço vetorial de
.
O conteúdo envolvido é a caracterização de subespaço: um subconjunto não-vazio fechado sob soma e multiplicação escalar.
O conteúdo envolvido é a caracterização de subespaço: um subconjunto não-vazio fechado sob soma e multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos que
não é vazio mostrando que o vetor nulo de
pertence a
.
O vetor nulo em é a matriz coluna
. Como
O vetor nulo em
em
, segue que
.
Passo 3
Mostramos que
é fechado sob soma. Sejam
. Então
Logo,
ou seja,
.
Passo 4
Mostramos que
é fechado sob multiplicação escalar. Seja
e
. Como
, temos
logo
.