Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto F é um subespaço vetorial do espaço vetorial E. Em todos os casos, considere as operçãoes usuais.
E=Mn times 1(R), F=X in Mn times 1(R) mid A X=0, onde A in Mm times n(R) é dada e 0 denota a matriz nula em Mm times 1(R).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
E = Mntimes1(R)
com as operações usuais e
F = Xin Mntimes1(R) mid A,X = 0,
onde Ain Mmtimes n(R) é fixa e 0 é o vetor nulo em Mmtimes1(R), é um subespaço vetorial de E.
O conteúdo envolvido é a caracterização de subespaço: um subconjunto não-vazio fechado sob soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos que F não é vazio mostrando que o vetor nulo de E pertence a F.
O vetor nulo em E é a matriz coluna 0in Mntimes1(R). Como
Acdot 0 = 0
em Mmtimes1(R), segue que 0in F.

Passo 3

Mostramos que F é fechado sob soma. Sejam X1,X2in F. Então
A,X1 = 0 e A,X2 = 0
Logo,
A,(X1 + X2) = A,X1 + A,X2 = 0 + 0 = 0,
ou seja, X1+X2in F.

Passo 4

Mostramos que F é fechado sob multiplicação escalar. Seja lambdainR e Xin F. Como A,X=0, temos
A,(lambda X) = lambda,(A,X) = lambdacdot 0 = 0,
logo lambda Xin F.

Resposta

F satisfaz ser não-vazio, fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar. Portanto, F é subespaço vetorial de E.

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