Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto
é um subespaço vetorial do espaço vetorial
. Em todos os casos, considere as operçãoes usuais.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
como o conjunto de todas as funções de
em
, com as operações usuais de soma de funções e multiplicação por escalar. O subconjunto é
Para mostrar que
é subespaço de
, vamos verificar:
- Se a função zero está em
. - Se
é fechado sob soma. - Se
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificar se o vetor zero de
pertence a
. A função zero é definida por
Então
logo
.
Passo 3
Verificar fechamento de
sob soma. Tomemos
. Por definição,
A soma
satisfaz
logo
.
Passo 4
Verificar fechamento de
sob multiplicação por escalar. Seja
e
. Então
portanto
.