Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto F é um subespaço vetorial do espaço vetorial E. Em todos os casos, considere as operçãoes usuais.
E=F(R ; R), F=f in F(R ; R) mid f(1)=0

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial
E = F(R;R)
como o conjunto de todas as funções de R em R, com as operações usuais de soma de funções e multiplicação por escalar. O subconjunto é
F = fin E mid f(1)=0
Para mostrar que F é subespaço de E, vamos verificar:
  1. Se a função zero está em F.
  2. Se F é fechado sob soma.
  3. Se F é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar se o vetor zero de E pertence a F. A função zero é definida por
0E(x)=0para todo xinR
Então
0E(1)=0,
logo 0Ein F.

Passo 3

Verificar fechamento de F sob soma. Tomemos f,gin F. Por definição,
f(1)=0 e g(1)=0
A soma f+g satisfaz
(f+g)(1)=f(1)+g(1)=0+0=0,
logo f+gin F.

Passo 4

Verificar fechamento de F sob multiplicação por escalar. Seja alphainR e fin F. Então
(alpha f)(1)=alphacdot f(1)=alphacdot 0=0,
portanto alpha fin F.

Resposta

F é subespaço vetorial de E.

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