Em cada um dos itens abaixo, dado F um subespaço vetorial de E, encontrar o subespaço suplementar de F, isto é o subespaço G de E tal que E=F oplus G.
E=M3(R), F=A in M3(R) mid A^t=A

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial E = M3(R) e o subespaço
F = A in M3(R) mid A^t = A,
isto é, o espaço das matrizes simétricas. Queremos encontrar um subespaço G tal que
E = F oplus G
O conteúdo aqui é a decomposição de uma matriz qualquer em parte simétrica e parte antissimétrica.

Passo 2

Como candidato a complementar de F, consideramos o subespaço
G = A in M3(R) mid A^t = -A,
isto é, o espaço das matrizes antissimétricas (ou skew-symmétricas). Primeiro, note que G é de fato subespaço de E: soma e multiplicação escalar preservam a propriedade A^t=-A.

Passo 3

Mostramos que qualquer matriz Min M3(R) se decompõe unicamente como soma de uma parte simétrica e outra antissimétrica. Definimos
Ms = tfrac12l(M + M^tr), Mk = tfrac12l(M - M^tr)
Então claramente
Ms^t = tfrac12l(M^t + Mr) = Msin F, Mk^t = tfrac12l(M^t - Mr) = -Mkin G,
e
Ms + Mk = tfrac12(M + M^t) + tfrac12(M - M^t) = M

Passo 4

Finalmente, verificamos que Fcap G = 0. Se A é ao mesmo tempo simétrica e antissimétrica, então
A^t=A e A^t=-A Longrightarrow A=-A Longrightarrow A=0
Logo a soma em

Resposta

O subespaço suplementar é
G = A in M3(R) mid A^t = -A,
isto é, o espaço das matrizes antissimétricas.

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