Em cada um dos itens abaixo, dado
um subespaço vetorial de
, encontrar o subespaço suplementar de
, isto é o subespaço
de
tal que
.
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial
e o subespaço
isto é, o espaço das matrizes simétricas. Queremos encontrar um subespaço
tal que
O conteúdo aqui é a decomposição de uma matriz qualquer em parte simétrica e parte antissimétrica.
Passo 2
Como candidato a complementar de
, consideramos o subespaço
isto é, o espaço das matrizes antissimétricas (ou skew-symmétricas). Primeiro, note que
é de fato subespaço de
: soma e multiplicação escalar preservam a propriedade
.
Passo 3
Mostramos que qualquer matriz
se decompõe unicamente como soma de uma parte simétrica e outra antissimétrica. Definimos
Então claramente
e
Passo 4
Finalmente, verificamos que
. Se
é ao mesmo tempo simétrica e antissimétrica, então
Logo a soma em
Resposta
O subespaço suplementar é
isto é, o espaço das matrizes antissimétricas.