Em cada um dos itens abaixo é dado uma função
em um intervalo de comprimento
. Em cada caso, esboce os gráficos das extensões par e ímpar de
de período
.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma função $ f(x) $ definida no intervalo de comprimento $ L = 2 $, onde:
O objetivo é esboçar os gráficos das extensões par e ímpar dessa função, com período $ 2L = 4 $. Para isso, vamos precisar entender o que são as extensões par e ímpar de uma função e como construí-las.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a extensão par de uma função. Uma função é par se satisfaz $ f(-x) = f(x) $ para todo $ x $. Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo $ y $.
Para construir a extensão par de $ f(x) $, vamos refletir o gráfico de $ f(x) $ para os valores negativos de $ x $. Como $ L = 2 $ e o período é $ 4 $, vamos repetir esse padrão a cada intervalo de comprimento $ 4 $.
Passo 3
Agora, vamos sobre a extensão ímpar. Uma função é ímpar se satisfaz $ f(-x) = -f(x) $ para todo $ x $. Nesse caso, o gráfico da função é simétrico em relação à origem.
Para construir a extensão ímpar de $ f(x) $, além de refletir o gráfico para os valores negativos de $ x $, precisamos inverter os sinais dos valores de $ f(x) $ nessa região. Assim como na extensão par, vamos repetir o padrão a cada intervalo de comprimento $ 4 $.
Passo 4
Vamos detalhar como fazer isso na prática:
-
Extensão Par:
- Mantenha $ f(x) $ para $ x $ positivo.
- Para $ x $ negativo, defina $ f(-x) = f(x) $.
- Isso resulta em um gráfico simétrico em relação ao eixo $ y $, repetindo-se a cada $ 4 $ unidades.
-
Extensão Ímpar:
- Mantenha $ f(x) $ para $ x $ positivo.
- Para $ x $ negativo, defina $ f(-x) = -f(x) $.
- Isso cria simetria em relação à origem, também repetindo-se a cada $ 4 $ unidades.
Passo 5
Finalmente, ao esboçar os gráficos:
- Para a extensão par, você verá que o padrão de $ f(x) $ se repete de forma espelhada para $ x $ negativo.
- Para a extensão ímpar, o padrão de $ f(x) $ se repete invertido para $ x $ negativo.
Dessa forma, você terá os gráficos das extensões par e ímpar de $ f(x) $ com período $ 4 $.
Resposta
Seguindo os passos, os gráficos das extensões par e ímpar de $ f(x) $ com período $ 4 $ são construídos refletindo e invertendo o padrão original conforme as definições de função par e ímpar, respectivamente, mantendo a repetição a cada $ 4 $ unidades no eixo $ x $.