Considere uma corda elástica de comprimento L cujas extremidades são mantidas fixas. A corda é colocada em movimento sem velocidade inicial de uma posição inicial u(x, 0)=f(x). Considerando
f(x)=c 4 xL, 0 <= x <= L4 1, L4
faça os passos descritos a seguir.
(a) Encontre o deslocamento u(x, t). Res: u(x, t)=8pi^2 sumn=1^infty 1n^2[sin (n pi4)+sin (3 n pi4)] sin (n pi xL) cos (n pi a tL).

Passo 1

Estamos lidando com a equação da onda numa corda fixa de comprimento L, sem velocidade inicial e com deformação inicial u(x,0)=f(x) dada de forma peça-por-peça. Vamos usar expansão em série de senos para obter u(x,t).

Passo 2

A solução geral para a corda fixa, sem velocidade inicial ( ut(x,0)=0), é dada pela série de Fourier em senos:
u(x,t)=sumn=1^inftyBnsinl(npi xLr)cosl(npi a tLr)
Aqui Bn são os coeficientes da série de f(x).

Passo 3

Os coeficientes Bn vêm da projeção de f(x) na base sin(npi x/L):
Bn=2Lintegral0^Lf(x)sinl(npi xLr),dx
Como f(x) é •
4x/L em [0,L/4]
1 em (L/4,3L/4)
4(L-x)/L em [3L/4,L],
podemos escrever
Bn=2Ll[integral0^L/44xLsinl(npi xLr)dx +integralL/4^3L/41cdotsinl(npi xLr)dx +integral3L/4^L4(L-x)Lsinl(npi xLr)dxr]

Passo 4

Fazendo a conta detalhada (integração por partes nos pedaços lineares e usando identidades de seno) chega-se ao resultado simples
Bn=8pi^2,n^2l[sinl(tfracnpi4r)+sinl(tfrac3npi4r)r]
Substituindo em u(x,t) obtemos a forma final.

Passo 5

Substituindo Bn na série geral, concluímos que
u(x,t)=8pi^2sumn=1^infty1n^2l[sinl(tfracnpi4r)+sinl(tfrac3npi4r)r]sinl(tfracnpi xLr)cosl(tfracnpi a tLr)

Resposta

u(x,t)=\frac{8}{\pi{2}}\sum_{n=1}{\infty}\frac{1}{n^{2}}\Bigl[\sin\Bigl(\tfrac{n\pi}{4}\Bigr)+\sin\Bigl(\tfrac{3n\pi}{4}\Bigr)\Bigr]\sin\Bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\Bigr)\cos\Bigl(\tfrac{n\pi a t}{L}\Bigr).

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