Em cada um dos itens abaixo, dado U subespaço vetorial do espaço vetorial ( V,+, \cdot ), encontre um subespaço suplementar do subespaço vetorial U (isto é, um subespaço vetorial W, do espaço vetorial ( V,+, \cdot ), tal que V=U \oplus W).
V \doteq M_{3}(\mathbb{R}), munido das operações usuais, U \doteq\left\{A \in M_{3}(\mathbb{R})\right.; \left.A^{t}=A\right\}.

Passo 1

O enunciado pede um subespaço W de V = M_{3}(\mathbb{R}) tal que V = U \oplus W, onde
U = \{\,A\in M_{3}(\mathbb{R}) \mid A^{T}=A\}
O conteúdo é a decomposição de uma matriz em parte simétrica e parte antissimétrica.

Passo 2

Para qualquer A\in M_{3}(\mathbb{R}) definimos
A_{s} = \frac{A + A^{T}}{2}, \quad A_{a} = \frac{A - A^{T}}{2}.
Como
(A + A^{T})^{T} = A^{T} + A = A + A^{T},
segue A_{s}^{T} = A_{s}, logo A_{s}\in U. E
(A - A^{T})^{T} = A^{T} - A = -\bigl(A - A^{T}\bigr),
logo A_{a}^{T} = -A_{a}, ou seja, A_{a} é antissimétrico.

Passo 3

Seja
W = \{\,B\in M_{3}(\mathbb{R}) \mid B^{T} = -B\}.
Mostramos que W é subespaço vetorial pois, se B_{1}^{T}=-B_{1} e B_{2}^{T}=-B_{2}, então
(\alpha B_{1} + \beta B_{2})^{T} = \alpha B_{1}^{T} + \beta B_{2}^{T} = -\alpha B_{1} - \beta B_{2} = -(\alpha B_{1} + \beta B_{2}),
para quaisquer escalares \alpha,\beta.

Passo 4

Para todo A\in M_{3}(\mathbb{R}) temos
A = A_{s} + A_{a},
com A_{s}\in U e A_{a}\in W, de modo que V = U + W. Se X\in U\cap W, então
X^{T} = X \quad\text{e}\quad X^{T} = -\,X
implicam X = -X, ou seja X=0. Logo a soma é direta.

Resposta

W = \{\,A\in M_{3}(\mathbb{R}) \mid A^{T} = -A\}.

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