Em cada um dos itens abaixo, dado
subespaço vetorial do espaço vetorial (
), encontre um subespaço suplementar do subespaço vetorial
(isto é, um subespaço vetorial
, do espaço vetorial (
), tal que
.
, munido das operações usuais,
;
.
Passo 1
O enunciado pede um subespaço
de
tal que
, onde
O conteúdo é a decomposição de uma matriz em parte simétrica e parte antissimétrica.
Passo 2
Para qualquer
definimos
Como
segue
, logo
. E
logo
, ou seja,
é antissimétrico.
Passo 3
Seja
Mostramos que
é subespaço vetorial pois, se
e
, então
para quaisquer escalares
.
Passo 4
Para todo
temos
com
e
, de modo que
. Se
, então
implicam
, ou seja
. Logo a soma é direta.