Em cada um dos itens abaixo, dado U subespaço vetorial do espaço vetorial ( V,+, \cdot ), encontre um subespaço suplementar do subespaço vetorial U (isto é, um subespaço vetorial W, do espaço vetorial ( V,+, \cdot ), tal que V=U \oplus W).
Sejam A \doteq\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right), V \doteq M_{2 \times 1}(\mathbb{R}), munido das operações usuais, U \doteq\left\{X \in M_{2 \times 1}(\mathbb{R}) ; A X=0\right\}.
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial
V = M_{2\times1}(\mathbb{R}),
a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}
e o subespaço
U = \{\,X\in V : A X = 0\}.
Queremos achar um subespaço W\subset V tal que
V = U \oplus W.
O conteúdo usado será: núcleo de uma transformação linear, dimensão de subespaços e soma direta.
Passo 2
Para encontrar U\), escrevemos \(X=(x_{1},x_{2})^{T}\in V\) e impomos
\[A X = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}\x_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.