Em cada um dos itens abaixo, dado U subespaço vetorial do espaço vetorial ( V,+, \cdot ), encontre um subespaço suplementar do subespaço vetorial U (isto é, um subespaço vetorial W, do espaço vetorial ( V,+, \cdot ), tal que V=U \oplus W).
Sejam A \doteq\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right), V \doteq M_{2 \times 1}(\mathbb{R}), munido das operações usuais, U \doteq\left\{X \in M_{2 \times 1}(\mathbb{R}) ; A X=0\right\}.

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial
V = M_{2\times1}(\mathbb{R}),
a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}
e o subespaço
U = \{\,X\in V : A X = 0\}.
Queremos achar um subespaço W\subset V tal que
V = U \oplus W.
O conteúdo usado será: núcleo de uma transformação linear, dimensão de subespaços e soma direta.

Passo 2

Para encontrar U\), escrevemos \(X=(x_{1},x_{2})^{T}\in V\) e impomos \[A X = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}\x_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Isso leva ao sistema
\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 0,\\\ x_{2} = 0, \end{cases}
cuja única solução é x_{1}=0\] e \(x_{2}=0.

Passo 3

Logo
U = \{(0,0)^{T}\},
isto é, \dim U = 0.

Passo 4

Como \dim V = 2 e \dim U = 0, qualquer subespaço W\subset V de dimensão 2 satisfaz
V = U \oplus W.
O exemplo mais direto é escolher
W = V = M_{2\times1}(\mathbb{R})
(equivalente a \mathbb{R}^{2}).

Resposta

W = M_{2\times1}(\mathbb{R}).

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