Em cada um dos itens abaixo, dado
subespaço vetorial do espaço vetorial
, encontrar o subespaço suplementar de
(isto é, o subespaço vetorial
do espaço vetorial
tal que
). Dica: Encontre primeiramente uma base
para
, o subespaço suplementar
procurado será o subespaço gerado por um subconjunto
tal que
forma uma base de
.
(a)
.
(b)
.
©
.
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para, em cada item, encontrar um subespaço suplementar
para um dado subespaço
dentro de um espaço vetorial
. Isso significa que queremos que
possa ser escrito como a soma direta de
e
, ou seja,
. Para isso, vamos encontrar uma base para
e depois identificar um conjunto de vetores que, juntos com a base de
, formem uma base para
. Esses novos vetores gerarão o subespaço
que procuramos.
Passo 2
Vamos começar pelo item (a):
e
.
Primeiro, identificamos uma base para
. Os vetores
e
são suficientes para gerar todos os vetores de
, então uma base para
é
.
Agora, precisamos encontrar vetores que, junto com
, formem uma base para
. Já que
tem 2 vetores e
tem dimensão 3, precisamos de mais 1 vetor. Um bom candidato é o vetor
porque ele não pode ser escrito como combinação linear dos vetores de
.
Então, o subespaço suplementar
é gerado por
.
Passo 3
Agora, vamos para o item (b):
e
.
Primeiro, entendemos que
implica
. Então, os vetores em
têm a forma
.
Uma base para
pode ser
.
Para formar uma base para
, precisamos de mais um vetor que não esteja em
. Um bom candidato é
, pois não satisfaz
.
Portanto, o subespaço suplementar
é gerado por
.
Passo 4
Finalmente, vamos para o item ©:
e
.
Aqui, as condições
e
implicam que
e
. Então, os vetores em
têm a forma
.
Uma base para
pode ser
.
Para completar a base para
, precisamos de mais dois vetores que não estejam em
. Bons candidatos são
e
, pois eles não satisfazem as condições de
.
Portanto, o subespaço suplementar
é gerado por
.
Resposta
(a) O subespaço suplementar
é
.
(b) O subespaço suplementar
é
.
© O subespaço suplementar
é
.