Em cada um dos itens abaixo, dado U subespaço vetorial do espaço vetorial V, encontrar o subespaço suplementar de U (isto é, o subespaço vetorial W do espaço vetorial V tal que V=U oplus W ). Dica: Encontre primeiramente uma base B para U, o subespaço suplementar W procurado será o subespaço gerado por um subconjunto S tal que B cup S forma uma base de V.
(a) V=R^3, U=(x, y, 0): x, y in R.
(b) V=R^3, U=(x, y, z) in R^3: x-y=0.
© V=R^4, U=(x, y, z, t) in R^4: x-y=z-t=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para, em cada item, encontrar um subespaço suplementar para um dado subespaço dentro de um espaço vetorial . Isso significa que queremos que possa ser escrito como a soma direta de e , ou seja, . Para isso, vamos encontrar uma base para e depois identificar um conjunto de vetores que, juntos com a base de , formem uma base para . Esses novos vetores gerarão o subespaço que procuramos.

Passo 2

Vamos começar pelo item (a):
e .
Primeiro, identificamos uma base para . Os vetores e são suficientes para gerar todos os vetores de , então uma base para é .
Agora, precisamos encontrar vetores que, junto com , formem uma base para . Já que tem 2 vetores e tem dimensão 3, precisamos de mais 1 vetor. Um bom candidato é o vetor porque ele não pode ser escrito como combinação linear dos vetores de .
Então, o subespaço suplementar é gerado por .

Passo 3

Agora, vamos para o item (b):
e .
Primeiro, entendemos que implica . Então, os vetores em têm a forma .
Uma base para pode ser .
Para formar uma base para , precisamos de mais um vetor que não esteja em . Um bom candidato é , pois não satisfaz .
Portanto, o subespaço suplementar é gerado por .

Passo 4

Finalmente, vamos para o item ©:
e .
Aqui, as condições e implicam que e . Então, os vetores em têm a forma .
Uma base para pode ser .
Para completar a base para , precisamos de mais dois vetores que não estejam em . Bons candidatos são e , pois eles não satisfazem as condições de .
Portanto, o subespaço suplementar é gerado por .

Resposta

(a) O subespaço suplementar é .
(b) O subespaço suplementar é .
© O subespaço suplementar é .

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