encontre a base C e as coordenadas do vetor u nesta base.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três partes:
a) Encontrar a matriz que muda de uma base específica B para a base canônica em R^3.
b) Converter as coordenadas de um vetor u da base B para a base canônica.
c) Encontrar uma nova base C a partir de uma matriz dada que faz a mudança de base de C para B e, também, determinar as coordenadas de u nessa nova base C.
Para resolver tudo isso, vamos precisar entender como fazer mudanças de base, manipular matrizes e trabalhar com coordenadas de vetores em diferentes bases.
Passo 2
Parte a) Primeiro, vamos encontrar a matriz de mudança de base da base B para a base canônica de R^3.
A base canônica de R^3 é formada pelos vetores (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). A base B é composta pelos vetores (1,1,0), (0,1,0) e (0,0,3).
A matriz de mudança de base de B para a base canônica é simplesmente a matriz cujas colunas são os vetores de B escritos na base canônica. Ou seja:
MB to E = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 3
Isso porque cada coluna representa um vetor de B na base canônica.
Passo 3
Parte b) Agora, vamos determinar as coordenadas do vetor u = 7 -3 2B na base canônica.
Para isso, usamos a matriz de mudança de base que encontramos na parte a). Multiplicamos a matriz MB to E pelas coordenadas de u em B:
As coordenadas de u na base canônica são (7, 4, 6) e a base C é (27, 67, 37), (47, 87, 27), (47, 47, 87) com as coordenadas de u na base C sendo (27, 87, 327).