(a) Encontre a matriz de mudança de base da base B=(1,1,0),(0,1,0),(0,0,3) para a base canônica de R^3.
(b) Sabendo que u=(c7 -3 2)B determine as coordenadas de u na base canônica de R^3.
© Sabendo que a matriz de mudança de base da base C para a base B é dada por
(ccc 4 & -1 & 0 -2 & 1 & -3 12 & 0 & 1 )
encontre a base C e as coordenadas do vetor u nesta base.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três partes:
a) Encontrar a matriz que muda de uma base específica B para a base canônica em R^3.
b) Converter as coordenadas de um vetor u da base B para a base canônica.
c) Encontrar uma nova base C a partir de uma matriz dada que faz a mudança de base de C para B e, também, determinar as coordenadas de u nessa nova base C.
Para resolver tudo isso, vamos precisar entender como fazer mudanças de base, manipular matrizes e trabalhar com coordenadas de vetores em diferentes bases.

Passo 2

Parte a) Primeiro, vamos encontrar a matriz de mudança de base da base B para a base canônica de R^3.
A base canônica de R^3 é formada pelos vetores (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). A base B é composta pelos vetores (1,1,0), (0,1,0) e (0,0,3).
A matriz de mudança de base de B para a base canônica é simplesmente a matriz cujas colunas são os vetores de B escritos na base canônica. Ou seja:
MB to E = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 3
Isso porque cada coluna representa um vetor de B na base canônica.

Passo 3

Parte b) Agora, vamos determinar as coordenadas do vetor u = 7 -3 2B na base canônica.
Para isso, usamos a matriz de mudança de base que encontramos na parte a). Multiplicamos a matriz MB to E pelas coordenadas de u em B:
uE = MB to E cdot uB = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 3 cdot 7 -3 2 = 1 cdot 7 + 0 cdot (-3) + 0 cdot 2 1 cdot 7 + 1 cdot (-3) + 0 cdot 2 0 cdot 7 + 0 cdot (-3) + 3 cdot 2 = 7 4 6
Então, as coordenadas de u na base canônica são (7, 4, 6).

Passo 4

Parte c) Agora, temos a matriz de mudança de base da base C para a base B:
MC to B = 4 & -1 & 0 -2 & 1 & -3 12 & 0 & 1
Primeiro, precisamos encontrar a base C. Para isso, vamos inverter a matriz MC to B para obter MB to C.
Calculando a inversa de MC to B:
Vamos calcular a inversa de uma matriz 3x3 usando a fórmula geral.
Primeiro, calculamos o determinante da matriz:
det(MC to B) = 4 cdot (1 cdot 1 - (-3) cdot 0) - (-1) cdot (-2 cdot 1 - (-3) cdot 12) + 0 cdot (-2 cdot 0 - 1 cdot 12) = 4 cdot (1) - (-1) cdot (-2 + 32) + 0 = 4 - (-1) cdot (-12) + 0 = 4 - 12 = 72
Agora, calculamos a matriz adjunta e, em seguida, a inversa:
MB to C = 1det(MC to B) cdot adj(MC to B)
Sem entrar em detalhes longos, após calcular, obtemos:
MB to C = 27 cdot 1 & 3 & 1.5 2 & 4 & 1 2 & 2 & 4
Assim, a base C é composta pelos colunas de MB to C na base canônica:
C = (27, 67, 37), (47, 87, 27), (47, 47, 87)
Agora, para encontrar as coordenadas de u na base C, usamos a relação:
uC = MC to B^-1 cdot uB
Usando a matriz inversa que calculamos:
uC = 27 cdot 1 & 3 & 1.5 2 & 4 & 1 2 & 2 & 4 cdot 7 -3 2 = 27 (7 - 9 + 3) 27 (14 - 12 + 2) 27 (14 - 6 + 8) = 27 cdot 1 27 cdot 4 27 cdot 16 = 27 87 327

Resposta

As coordenadas de u na base canônica são (7, 4, 6) e a base C é (27, 67, 37), (47, 87, 27), (47, 47, 87) com as coordenadas de u na base C sendo (27, 87, 327).

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