Sejam A in M2 times 2(R), é possível escrever A como combinação linear das matrizes
(ll 1 & 0 0 & 1 ),(ll 1 & 1 0 & 0 ),(ll 0 & 0 1 & 1 ),(ll 0 & 1 1 & 2 ) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está falando sobre combinações lineares de matrizes. Basicamente, queremos saber se qualquer matriz A de 2 times 2 com números reais consegue ser escrita como uma combinação das quatro matrizes que foram listadas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é combinação linear e como montar um sistema de equações para encontrar os coeficientes que fazem isso acontecer.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que nossa matriz A pode ser escrita como uma combinação linear das quatro matrizes dadas. Isso significa que existem números reais x, y, z e w tais que:
A = x cdot 1 & 0 0 & 1 + y cdot 1 & 1 0 & 0 + z cdot 0 & 0 1 & 1 + w cdot 0 & 1 1 & 2

Passo 3

Agora, vamos juntar tudo na mesma matriz e ver o que precisamos para que isso funcione. Fazendo a soma, temos:
A = x & 0 0 & x + y & y 0 & 0 + 0 & 0 z & z + 0 & w w & 2w
Somando essas matrizes, ficamos com:
A = x + y & y + w z + w & x + z + 2w

Passo 4

Para que essa igualdade seja verdadeira para qualquer matriz A, precisamos que cada elemento corresponda. Ou seja, se A = a & b c & d , então:
  1. x + y = a
  2. y + w = b
  3. z + w = c
  4. x + z + 2w = d
Agora, temos um sistema de 4 equações com 4 incógnitas. Vamos resolver passo a passo:
  • Da equação 1: x = a - y
  • Da equação 2: w = b - y
  • Da equação 3: z = c - w = c - (b - y) = c - b + y
Substituindo x e z na equação 4:
(a - y) + (c - b + y) + 2(b - y) = d
Simplificando:
a - y + c - b + y + 2b - 2y = d a + c + b - 2y = d
Isolando y:
2y = a + c + b - d y = a + b + c - d2
Agora que temos y, podemos encontrar os outros valores:
  • x = a - a + b + c - d2 = 2a - a - b - c + d2 = a - b - c + d2
  • w = b - a + b + c - d2 = 2b - a - b - c + d2 = b - a - c + d2
  • z = c - w = c - b - a - c + d2 = 2c - b + a + c - d2 = a - b + 3c - d2

Resposta

Sim, qualquer matriz A in M2 times 2(R) pode ser escrita como combinação linear das matrizes dadas, com os coeficientes:
x = a - b - c + d2, y = a + b + c - d2, z = a - b + 3c - d2, w = b - a - c + d2

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