Sejam
, é possível escrever
como combinação linear das matrizes
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está falando sobre combinações lineares de matrizes. Basicamente, queremos saber se qualquer matriz
de
com números reais consegue ser escrita como uma combinação das quatro matrizes que foram listadas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é combinação linear e como montar um sistema de equações para encontrar os coeficientes que fazem isso acontecer.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que nossa matriz
pode ser escrita como uma combinação linear das quatro matrizes dadas. Isso significa que existem números reais
,
,
e
tais que:
Passo 3
Agora, vamos juntar tudo na mesma matriz e ver o que precisamos para que isso funcione. Fazendo a soma, temos:
Somando essas matrizes, ficamos com:
Passo 4
Para que essa igualdade seja verdadeira para qualquer matriz
, precisamos que cada elemento corresponda. Ou seja, se
, então:
Agora, temos um sistema de 4 equações com 4 incógnitas. Vamos resolver passo a passo:
- Da equação 1:
- Da equação 2:
- Da equação 3:
Substituindo
e
na equação 4:
Simplificando:
Isolando
:
Agora que temos
, podemos encontrar os outros valores:
Resposta
Sim, qualquer matriz
pode ser escrita como combinação linear das matrizes dadas, com os coeficientes: