Verifique, em cada um dos itens abaixo, se o subconjunto
do espaço vetorial
é l.i. ou l.d.:
(a)
.
(b)
.
©
.
(d)
.
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Então, nosso desafio aqui é verificar se determinados subconjuntos
de espaços vetoriais
são linearmente independentes (l.i.) ou linearmente dependentes (l.d.). Para isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser linearmente independente e como verificar isso usando conceitos de álgebra linear, como combinação linear e sistemas de equações. Vamos analisar cada item (a), (b), © e (d) passo a passo.
Passo 2
Item (a):
Temos
c1(1,2) + c2(-3,1) = (0,0) em
1c1 - 3c2 = 0 2c1 + 1c2 = 0 .
Primeiro, vamos lembrar que dois vetores em
2(3c2) + c2 = 0 Rightarrow 6c2 + c2 = 0 Rightarrow 7c2 = 0 Rightarrow c2 = 0 são linearmente independentes se nenhum deles for múltiplo escalar do outro. Para verificar isso, podemos montar uma combinação linear igual a zero:
Isso resulta no sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, temos:
Da primeira equação:
A = (-1, 1, 0, 0), B = (2, 0, -1, 0)
Substituindo na segunda equação:
Então,
-1c1 + 2c2 = 0 1c1 + 0c2 = 0 0c1 - 1c2 = 0 0c1 + 0c2 = 0 . A única solução é a trivial
c1(1,2,2,-3) + c2(-1,4,-2,0) = (0,0,0,0) , o que significa que os vetores são linearmente independentes.
Item (b):
Temos
1c1 - 1c2 = 0 2c1 + 4c2 = 0 2c1 - 2c2 = 0 -3c1 + 0c2 = 0 em
-1c2 = 0 Rightarrow c2 = 0 .
Aqui, estamos lidando com matrizes. Para verificar a independência linear, consideramos cada entrada das matrizes como componentes de um vetor em
S = 1 & 2 & 0 3 & 0 & 1 0 & 0 & 2, -1 & -1 & -1 0 & 0 & 0 1 & 1 & 1, 0 & 0 & 0 10 & 5 & 7 -1 & 0 & 1 em V = M3 times 3(R) .
Vamos representar as matrizes como vetores:
Agora, montamos a combinação linear igual a zero:
Isso dá o sistema:
Resolvendo:
Da segunda equação:
c1A + c2B + c3C = (0,0,0,0,0,0,0,0,0)
Da terceira equação:
1c1 -1c2 +0c3 = 0 2c1 -1c2 +0c3 = 0 0c1 -1c2 +0c3 = 0 3c1 +0c2 +10c3 = 0 0c1 +0c2 +5c3 = 0 1c1 +0c2 +7c3 = 0 0c1 +1c2 -1c3 = 0 0c1 +1c2 +0c3 = 0 2c1 +1c2 +1c3 = 0
A única solução é trivial, então as matrizes são linearmente independentes.
Item ©:
Temos
em
.
Vamos montar a combinação linear igual a zero:
Isso resulta no sistema:
Da quarta equação:
Substituindo
nas outras equações:
A única solução é trivial, assim, o conjunto é linearmente independente.
Item (d):
Temos
Novamente, vamos representar cada matriz como um vetor em
:
Montamos a combinação linear igual a zero:
Isso leva ao sistema de 9 equações:
Analisando as equações:
Da terceira equação:
Da oitava equação:
Da sétima equação com
:
Agora, substituindo
na primeira equação:
A única solução é trivial, logo, o conjunto é linearmente independente.
Resposta
(a) O conjunto
é linearmente independente.
(b) O conjunto
é linearmente independente.
© O conjunto
é linearmente independente.
(d) O conjunto
é linearmente independente.