Para cada um dos subconjuntos
, onde
é o espaço vetorial indicado, encontrar o subespaço gerado por
, isto é,
.
(a)
.
(b)
.
©
.
(a)
(b)
©
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto
de vetores no espaço vetorial
e precisamos encontrar o subespaço gerado por
, que é denotado por
. Isso significa que vamos determinar todos os possíveis vetores que podemos obter combinando linearmente os vetores em
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear e espaço vetorial.
Passo 2
No item (a), temos:
- Conjunto
- Espaço vetorial
Queremos encontrar
, o subespaço de
gerado por esses dois vetores.
Passo 3
Para encontrar
, consideramos todas as combinações lineares possíveis dos vetores em
. Ou seja, qualquer vetor
em
pode ser escrito como:
onde
e
são números reais.
Passo 4
Vamos calcular a combinação linear:
Portanto,
consiste em todos os vetores da forma
, onde
e
são reais.
Passo 5
Podemos reescrever isso de uma forma mais geral. Vamos expressar
:
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira:
Passo 6
Agora, expressamos
em termos de
:
Isso mostra que qualquer vetor
em
pode ser obtido dessa forma, ou seja,
.
Resposta
O subespaço gerado por
em
é todo o espaço vetorial
. Portanto,
.