Para cada um dos subconjuntos S subseteq V, onde V é o espaço vetorial indicado, encontrar o subespaço gerado por S, isto é, [S].
(a) S doteq(1,0),(2,-1), V doteq R^2.
(b) S doteq(1,1,1),(2,2,0), V doteq R^3.
© S doteq(ll0 & 1 0 & 0),(cc0 & 0 -1 & 0), V doteq M2 times 2(R).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores no espaço vetorial e precisamos encontrar o subespaço gerado por , que é denotado por . Isso significa que vamos determinar todos os possíveis vetores que podemos obter combinando linearmente os vetores em . Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear e espaço vetorial.

Passo 2

No item (a), temos:
  • Conjunto
  • Espaço vetorial
Queremos encontrar , o subespaço de gerado por esses dois vetores.

Passo 3

Para encontrar v = a(1, 0) + b(2, -1) , consideramos todas as combinações lineares possíveis dos vetores em . Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como:
onde e são números reais.

Passo 4

Vamos calcular a combinação linear:
v = (a cdot 1 + b cdot 2, , a cdot 0 + b cdot (-1)) = (a + 2b, -b)
Portanto, consiste em todos os vetores da forma , onde e são reais.

Passo 5

Podemos reescrever isso de uma forma mais geral. Vamos expressar x = a + 2b y = -b :
x = a + 2(-y) x = a - 2y a = x + 2y
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:

Passo 6

Agora, expressamos v = (x, y) = (x + 2y - 2y, y) = (x, y) em termos de :
Isso mostra que qualquer vetor em pode ser obtido dessa forma, ou seja, .

Resposta

O subespaço gerado por em é todo o espaço vetorial . Portanto, .

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