Em cada um dos itens abaixo descreva algumas curvas de nível associadas a f.
f(x, y)=y^2-x^2

Passo 1

Estamos com a função de duas variáveis f(x,y)=y^2-x^2 e o objetivo é descrever suas curvas de nível, ou seja, os conjuntos de pontos (x,y) tais que f(x,y)=c para valores típicos de c. Vamos usar a definição de curva de nível e observar como ela muda conforme c.

Passo 2

A curva de nível genérica de f para um valor c é dada por
y^2 - x^2 = c
Dependendo do sinal de c, essa equação se comporta de formas distintas: fatoriza para retas quando c=0 e define hipérboles quando cneq0.

Passo 3

Para c=0 temos
y^2 - x^2 = 0 Longrightarrow (y-x)(y+x)=0
logo as curvas de nível são as duas retas
y = x e y = -x

Passo 4

Para c>0 escrevemos
y^2 - x^2 = c Longrightarrow y^2c - x^2c = 1,
que é a equação de uma hipérbole com ramos que se abrem para cima e para baixo (eixo principal paralelo ao eixo y).

Passo 5

Para c<0 note que c=-a^2 com a>0, então
y^2 - x^2 = -a^2 Longrightarrow x^2 - y^2 = a^2,
que é uma hipérbole com ramos que se abrem para a direita e para a esquerda (eixo principal paralelo ao eixo x).

Resposta

As curvas de nível de f(x,y)=y^2-x^2 são dadas por y^2 - x^2 = c. Para c=0 surgem as retas y=pm x. Para c>0 temos hipérboles com ramos verticais (eixo principal ao longo de y). Para c<0 surgem hipérboles com ramos horizontais (eixo principal ao longo de x).

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