Prove que:
Se então

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função hiperbólica y=sechx. O tema é diferenciação de funções hiperbólicas, usando a definição sechx=1/cosh x e a regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevemos y como potência: y=(cosh x)^-1 Para derivar, aplicamos a regra da cadeia: se y=u^-1 com u=cosh x, então y'=-u^-2cdot u' Calculamos u'=ddx(cosh x)=sinh x. Substituindo em y'=-u^-2cdot u' temos
y'=- (cosh x)^-2cdotsinh x = -sinh xcosh^2 x

Passo 3

Para simplificar, note que 1cosh x=sechx e sinh xcosh x=tanh x. Assim
$$y

Passo 4

=-\frac{1}{\cosh x}\cdot\frac{\sinh x}{\cosh x}=-\operatorname{sech}x\cdot\tanh x.$$

Resposta

y'=-sechxcdottanh x

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