Calcule as integrais triplas:
é a região no primeiro octante limitada superiormente pela esfera
, inferiormente pelo pano
e lateralmente pelos planos
e pelo cilindro
.
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral
, onde
é a região no primeiro octante limitada superiormente pela esfera
, inferiormente pelo plano
e lateralmente pelos planos
,
e pelo cilindro
. Vamos usar integrais triplas em coordenadas cilíndricas (ou seja, projeção no plano
em coordenadas polares).
Passo 2
Primeiro, projetamos
no plano
. Nesse plano, chamemos de
o quarto de disco de raio 1 (
,
). Para cada
em
,
varia de
até
. A mudança de variáveis é
Passo 3
Escrevemos a integral iterada:
Passo 4
Calculamos primeiro a integral em
:
Passo 5
Substituindo de volta, a integral vira
Passo 6
Agora separamos e calculamos as duas integrais:
Passo 7
Multiplicando tudo: