Calcule as integrais triplas:
integralOmega x z d V
Omega é a região no primeiro octante limitada superiormente pela esfera x^2+y^2+z^2=4, inferiormente pelo pano z=0 e lateralmente pelos planos x=0, y=0 e pelo cilindro x^2+y^2=1.

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral integralOmega x,z,dV, onde Omega é a região no primeiro octante limitada superiormente pela esfera x^2+y^2+z^2=4, inferiormente pelo plano z=0 e lateralmente pelos planos x=0, y=0 e pelo cilindro x^2+y^2=1. Vamos usar integrais triplas em coordenadas cilíndricas (ou seja, projeção no plano xy em coordenadas polares).

Passo 2

Primeiro, projetamos Omega no plano xy. Nesse plano, chamemos de D o quarto de disco de raio 1 ( 0<= r<=1, 0<=theta<= tfracpi2). Para cada (r,theta) em D, z varia de 0 até raiz4-r^2. A mudança de variáveis é
x = rcostheta, y = rsintheta, dV = r,dr,dtheta,dz

Passo 3

Escrevemos a integral iterada:
integralOmega x,z,dV = integraltheta=0^pi/2integralr=0^1integralz=0^raiz4-r^2(rcostheta),z,(r,dz,dr,dtheta)

Passo 4

Calculamos primeiro a integral em z:
integral0^raiz4-r^2 z,dz = z^22|0^raiz4-r^2 = 4 - r^22

Passo 5

Substituindo de volta, a integral vira
integral0^pi/2integral0^1 rcostheta cdot 4 - r^22 cdot r,dr,dtheta = 12 integral0^pi/2costheta,dtheta integral0^1(4r^2 - r^4),dr

Passo 6

Agora separamos e calculamos as duas integrais:
integral0^pi/2costheta,dtheta = sintheta|0^pi/2 = 1,
integral0^1(4r^2 - r^4),dr = l(tfrac4r^33 - tfracr^55r)|0^1 = 43 - 15 = 20 - 315 = 1715

Passo 7

Multiplicando tudo:
12 times 1 times 1715 = 1730

Resposta

1730

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