Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
sumn=1^infty(-1)^n-1 1raiz2 n+1

Passo 1

O enunciado pede para a gente analisar a série alternada sumn=1^infty(-1)^n-11raiz2n+1. O conteúdo aqui envolve o critério de Leibniz para séries alternadas e o teste de convergência absoluta.

Passo 2

Definimos bn=1raiz2n+1. Primeiro, note que para todo n>=1 temos bn>0. Em seguida, vejamos que bn é decrescente e que limntoinftybn=0:
Para monotonia, podemos comparar bn+1 e bn:
bn+1=1raiz2(n+1)+1=1raiz2n+3<1raiz2n+1=bn
E claramente
limntoinftybn=limntoinfty1raiz2n+1=0

Passo 3

Pelo critério de Leibniz, se bn>0, bn é decrescente e bnto0, então a série alternada sum(-1)^n-1bn converge. Logo, nossa série converge.

Passo 4

Para verificar se há convergência absoluta, analisamos
sumn=1^inftyl|(-1)^n-1tfrac1raiz2n+1r|=sumn=1^infty1raiz2n+1
Como para n grande tfrac1raiz2n+1 comporta-se como tfrac1raizn e a p-série sum n^-1/2 diverge (p=1/2≤1), concluímos que a série de termos absolutos diverge.

Passo 5

Daí a série original converge, mas não absolutamente. Isso significa que ela converge condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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