Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
Passo 1
O enunciado pede para a gente analisar a série alternada . O conteúdo aqui envolve o critério de Leibniz para séries alternadas e o teste de convergência absoluta.
Passo 2
Definimos . Primeiro, note que para todo temos . Em seguida, vejamos que é decrescente e que :
Para monotonia, podemos comparar e :
E claramente
Passo 3
Pelo critério de Leibniz, se , é decrescente e , então a série alternada converge. Logo, nossa série converge.
Passo 4
Para verificar se há convergência absoluta, analisamos
Como para n grande tfrac1raiz2n+1 comporta-se como tfrac1raizn e a p-série sum n^-1/2 diverge (p=1/2≤1), concluímos que a série de termos absolutos diverge.
Passo 5
Daí a série original converge, mas não absolutamente. Isso significa que ela converge condicionalmente.