Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime prime-y=2 de

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem com impulso em t=1:\ny’‘−y=2 δ(t−1), y(0)=1, y’(0)=0. O conteúdo é transformada de Laplace para forçamento tipo impulso. Vamos usar Laplace para passar da EDO a uma equação algébrica e depois inverter.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Lembrando que Ly''=s^2Y(s)−sy(0)−y'(0), Ly=Y(s) e Lde. Assim obtemos:
Ly''-Ly=2 Lde
ou seja,
s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)-Y(s)=2e^-s

Passo 3

Substituindo y(0)=1 e y’(0)=0, ficamos com
(s^2-1)Y(s)-s=2e^-s
Daí isolamos Y(s):
Y(s)=ss^2-1+2e^-ss^2-1

Passo 4

Agora vamos inverter cada termo. Sabemos que L^-1s/(s^2-1)=cosh t e L^-11/(s^2-1)=sinh t. Pelo teorema do deslocamento, e^-s em Laplace gera o fator u(t-1) e shift em t−1.
Pelo teorema do deslocamento:
L^-1F(s)e^-as=u(t-a)f(t-a)
Portanto o segundo termo vira 2u(t-1)sinh(t-1). Somando tudo:
y(t)=cosh t+2,u(t-1)sinh(t-1)

Passo 5

Para deixar bem claro, escrevemos a solução em forma de partes:
Para 0<= t<1, não há impulso ainda, então
y(t)=cosh t
Para t>=1, aparece o termo do impulso e temos
y(t)=cosh t+2sinh(t-1)

Resposta

y(t)= cosh t, &0<= t<1, cosh t+2sinh(t-1), &t>=1

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