Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem com impulso em t=1:\ny’‘−y=2 δ(t−1), y(0)=1, y’(0)=0. O conteúdo é transformada de Laplace para forçamento tipo impulso. Vamos usar Laplace para passar da EDO a uma equação algébrica e depois inverter.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Lembrando que
,
e
. Assim obtemos:
ou seja,
Passo 3
Substituindo y(0)=1 e y’(0)=0, ficamos com
Daí isolamos Y(s):
Passo 4
Agora vamos inverter cada termo. Sabemos que
e
. Pelo teorema do deslocamento,
em Laplace gera o fator
e shift em t−1.
Pelo teorema do deslocamento:
Pelo teorema do deslocamento:
Portanto o segundo termo vira
. Somando tudo:
Passo 5
Para deixar bem claro, escrevemos a solução em forma de partes:
Para , não há impulso ainda, então
Para
Para
, aparece o termo do impulso e temos
Resposta
y(t)=