Nos exercícios abaixo determine:
(a) se as séries que contém termos positivos ou negativos são convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
(b) se as séries de termos positivos são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n+1} \frac{1}{\sqrt{n}}

Passo 1

Temos a série alternada sumn=1^infty(-1)^n+11raiz n. O conteúdo aqui envolve o teste de Leibniz para séries alternadas e o conceito de convergência absoluta vs. condicional, além de p-séries para analisar a série de termos positivos.

Passo 2

Para aplicar o teste de Leibniz, identificamos bn=1/raiz n. Precisamos que (bn) seja decrescente e limntoinftybn=0. De fato, conforme n cresce, 1/raiz n diminui e limntoinfty1/raiz n=0. Assim, pela condição de Leibniz, a série alternada converge.

Passo 3

Agora vamos checar a convergência absoluta analisando a série de termos positivos associada:
sumn=1^inftyl|(-1)^n+11raiz nr|=sumn=1^infty1raiz n

Passo 4

Usamos o teste da p-série. A p-série
sumn=1^infty1n^p
converge se, e somente se, p>1. Aqui temos p=tfrac12<1, logo
sumn=1^infty1raiz n
diverge. Portanto a série não converge absolutamente, mas converge pela alternância de sinais, o que caracteriza convergência condicional.

Passo 5

Assim, a série original é convergente de forma condicional, e a série de termos positivos diverge.

Resposta

(a) convergente condicionalmente; (b) divergente.

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