Nos exercícios abaixo determine:
(a) se as séries que contém termos positivos ou negativos são convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
(b) se as séries de termos positivos são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n+1} \frac{1}{\sqrt{n}}
(a) se as séries que contém termos positivos ou negativos são convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
(b) se as séries de termos positivos são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n+1} \frac{1}{\sqrt{n}}
Passo 1
Temos a série alternada
. O conteúdo aqui envolve o teste de Leibniz para séries alternadas e o conceito de convergência absoluta vs. condicional, além de p-séries para analisar a série de termos positivos.
Passo 2
Para aplicar o teste de Leibniz, identificamos
. Precisamos que
seja decrescente e
. De fato, conforme
cresce,
diminui e
. Assim, pela condição de Leibniz, a série alternada converge.
Passo 3
Agora vamos checar a convergência absoluta analisando a série de termos positivos associada:
Passo 4
Usamos o teste da p-série. A p-série
converge se, e somente se,
diverge. Portanto a série não converge absolutamente, mas converge pela alternância de sinais, o que caracteriza convergência condicional.
Passo 5
Assim, a série original é convergente de forma condicional, e a série de termos positivos diverge.
Resposta
(a) convergente condicionalmente; (b) divergente.