Calcule as integrais triplas usando coordenadas cilíndricas:
integralOmega x^2 d V
.

Passo 1

No enunciado, temos que calcular a integral tripla integralOmega x^2,dV, onde Omega é o cilindro definido por x^2+y^2<=1 e 0<= z<=1. O conteúdo envolvido é mudança para coordenadas cilíndricas e uso do Jacobiano para integrar em regiões cilíndricas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas fazemos as substituições x=rcostheta, y=rsintheta, z=z, e o elemento de volume é dV=r,dr,dtheta,dz.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integralOmega x^2,dV = integralz=0^1 integraltheta=0^2pi integralr=0^1 (rcostheta)^2,r,dr,dtheta,dz
Como os limites são independentes, podemos separar as integrais em produto de três: sobre z, theta e r.

Passo 4

Para a parte angular, usamos cos^2theta = tfrac1+cos(2theta)2 e calculamos
integral0^2pi cos^2theta,dtheta = integral0^2pi tfrac1+cos(2theta)2,dtheta = pi

Passo 5

A integral radial é
integral0^1 r^3,dr = 14,
e a integral em z vale
integral0^1 dz = 1
Multiplica-se então os resultados parciais: pi, tfrac14 e 1.

Resposta

tfracpi4

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