Calcule as integrais triplas usando coordenadas cilíndricas:
.
Passo 1
No enunciado, temos que calcular a integral tripla
, onde
é o cilindro definido por
e
. O conteúdo envolvido é mudança para coordenadas cilíndricas e uso do Jacobiano para integrar em regiões cilíndricas.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas fazemos as substituições
,
,
, e o elemento de volume é
.
Passo 3
Substituindo na integral, obtemos
Como os limites são independentes, podemos separar as integrais em produto de três: sobre
,
e
.
Passo 4
Para a parte angular, usamos
e calculamos
Passo 5
A integral radial é
e a integral em
vale
Multiplica-se então os resultados parciais:
,
e
.