Em cada um dos itens abaixo determinar d(u, v).
V=P2(R), com o produto interno usual, u=1+t, v=34 t+3 t^2.

Passo 1

O enunciado diz que estamos em V=P2(R) com o produto interno usual, ou seja, se escrevemos um polinômio p(t)=a0+a1t+a2t^2 e outro q(t)=b0+b1t+b2t^2, então
lang<= p,qrang<= = a0b0+a1b1+a2b2
Queremos a distância
d(u,v)=|u-v|=raizlang<= u-v,,u-vrang<=
Os polinômios dados são u(t)=1+t e v(t)=tfrac34t+3t^2.

Passo 2

Escrevemos as coordenadas de u e v no formato (a0,a1,a2):
umapsto (1,,1,,0), vmapsto l(0,,tfrac34,,3r)

Passo 3

Subtraímos as coordenadas para obter u-v:
u-v ;mapsto;(1-0,;1-tfrac34,;0-3) ;=;(1,;tfrac14,;-3)

Passo 4

Calculamos o produto interno de u-v consigo mesmo:
lang<= u-v,,u-vrang<= =1^2+l(tfrac14r)^2+(-3)^2 =1+tfrac116+9 =tfrac16116

Passo 5

Logo a norma é
|u-v| =raizlang<= u-v,u-vrang<= =raiztfrac16116 =raiz1614

Resposta

d(u,v)=raiz1614

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