Sendo V=M2(R) e A=[ll0 & 1 1 & 1], B=[ll1 & 0 0 & 0]. Se W=[llx & y z & t] rvert, x+y-z=0, determine uma base ortonormal para W.

Passo 1

O espaço vetorial é com o produto interno de Frobenius dado por
O subespaço é definido por
que é uma equação linear, logo . Vamos encontrar uma base de e, em seguida, ortonormalizá-la por Gram–Schmidt.

Passo 2

Para parametrizar escrevemos a condição como . Assim
Logo é uma base de .

Passo 3

Calculamos os produtos internos:
lang<= E1,E1rang<==2, lang<= E2,E2rang<==2, lang<= E3,E3rang<==1,
lang<= E1,E2rang<==1, lang<= E1,E3rang<==0, lang<= E2,E3rang<==0

Passo 4

Aplicamos Gram–Schmidt:
u1=E1, v1=u1|u1|=1raiz2,E1
u2=E2-lang<= E2,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1 =E2-tfrac12,E1 =-tfrac12&1tfrac12&0,
|u2|=raiztfrac32, v2=u2|u2|=raiz23, -tfrac12&1tfrac12&0

Passo 5

Como E3 já é ortogonal a u1,u2 e |E3|=1, basta
v3=E3 =0&00&1

Resposta

Uma base ortonormal de W é
v1=1raiz21&01&0, v2=raiz23-tfrac12&1tfrac12&0, v3=0&00&1

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