Consideremos em P2(R) o produto interno dado por
lang<= f(t), g(t)rang<==integral2^1 f(t) g(t) d t
Nessas condições, para que valor de m temos que f(t)=m t^2-1 é ortogonal a g(t)=t ?

Passo 1

O enunciado fala de P2(R) com o produto interno
lang<= f,grang<= = integral2^1 f(t),g(t),dt
e pede o valor de m para que
f(t)=m,t^2-1 seja ortogonal a g(t)=t,
isto é, para que lang<= f,grang<==0.

Passo 2

A condição de ortogonalidade é
lang<= f,grang<= = integral2^1 l(m,t^2-1r),t,dt =0
Expandindo o integrando, temos
lang<= f,grang<= = integral2^1 l(m,t^3 - tr),dt

Passo 3

Vamos separar em duas integrais:
integral2^1 m,t^3,dt = mintegral2^1 t^3,dt = ml[t^44r]2^1 = ml(1^44-2^44r) = ml(14-164r) = ml(-154r),
integral2^1 (-t),dt = -l[t^22r]2^1 = -l(1^22-2^22r) = -l(12-2r) = -l(-32r) = 32
Somando,
lang<= f,grang<= = ml(-154r) + 32

Passo 4

Impondo lang<= f,grang<==0,
-154,m + 32 = 0 Longrightarrow -;15,m + 6 = 0 Longrightarrow 15,m = 6 Longrightarrow m = 615 = 25

Resposta

m = 25

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