Para cada um dos itens abaixo determine e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a primeira e a segunda derivada do vetor posição
. O vetor dado é
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivação de funções vetoriais, onde derivamos cada componente do vetor separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada . Isso significa que vamos derivar cada componente de
em relação a
.
A função original é:
Vamos derivar cada parte:
-
: A derivada de é . -
: Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada de é . -
: A derivada de em relação a é 1.
Então, a primeira derivada fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada
. Isso significa que vamos derivar novamente cada componente de em relação a
.
A primeira derivada que encontramos foi:
Vamos derivar cada parte:
-
: Reescrevendo, isso é . A derivada é , que podemos escrever como ou . -
: Novamente, usando a regra da cadeia. A derivada de é . - 1: A derivada de uma constante é 0.
Então, a segunda derivada fica:
Resposta
As derivadas são:
e