Para cada um dos itens abaixo determine e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a primeira e a segunda derivada do vetor posição r(t). O vetor dado é r(t)=(raizt, e^2 t, t). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivação de funções vetoriais, onde derivamos cada componente do vetor separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada . Isso significa que vamos derivar cada componente de em relação a .
A função original é:
Vamos derivar cada parte:
  1. : A derivada de é .
  2. : Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada de é .
  3. : A derivada de em relação a é 1.
Então, a primeira derivada fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada . Isso significa que vamos derivar novamente cada componente de em relação a .
A primeira derivada que encontramos foi:
Vamos derivar cada parte:
  1. : Reescrevendo, isso é . A derivada é , que podemos escrever como ou .
  2. : Novamente, usando a regra da cadeia. A derivada de é .
  3. 1: A derivada de uma constante é 0.
Então, a segunda derivada fica:

Resposta

As derivadas são:
e

Exercícios relacionados