Para cada um dos itens abaixo determine e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que determinar a primeira e a segunda derivada do vetor posição . O enunciado é:
Então, vamos usar o conteúdo de Derivadas para resolver isso. Precisamos calcular (a primeira derivada) e (a segunda derivada).

Passo 2

Primeiro, vamos entender que r(t) é um vetor com três componentes: ln(1-t), sin t e t^2. Para achar a derivada, a gente precisa derivar cada uma dessas componentes em relação a t.

Passo 3

Vamos começar com a primeira componente: ln(1-t).
A derivada de ln(u) em relação a t é 1u cdot dudt. Aqui, u = 1 - t.
Então,
ddt ln(1-t) = 11-t cdot (-1) = -11 - t

Passo 4

Agora, a segunda componente: sin t.
A derivada de sin t é cos t.
Então,
ddt sin t = cos t

Passo 5

Por último, a terceira componente: t^2.
A derivada de t^n é n t^n-1. Aqui, n = 2.
Então,
ddt t^2 = 2t

Passo 6

Agora, juntando tudo, a primeira derivada do vetor é:

Passo 7

Vamos calcular a segunda derivada . Isso significa derivar novamente cada componente de .

Passo 8

Primeira componente de : .
A derivada de é .
Usando a regra da cadeia:
Então,

Passo 9

Segunda componente de : .
A derivada de é .
Então,

Passo 10

Terceira componente de : .
A derivada de é .
Então,

Resposta

Portanto, as derivadas são:

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