Determine a equação da reta normal ao gráfico de cada uma das funções do exercício anterior, no mesmo ponto a indicado.
f(x)=2 x^3-x^2-4 x, em a=-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta normal ao gráfico da função f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x no ponto onde a = -1 . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, já que elas nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangentes e normais a uma curva em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de f(-1) . Isso vai nos dar as coordenadas do ponto no qual vamos determinar a reta normal. Vamos substituir x = -1 na função:
f(-1) = 2(-1)^3 - (-1)^2 - 4(-1)
Calculando cada termo:
2(-1)^3 = 2(-1) = -2
-(-1)^2 = -1
-4(-1) = 4
Somando tudo:
-2 - 1 + 4 = 1
Então, o ponto de interesse é (-1, 1) .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função f(x) , que nos dará a inclinação da reta tangente em qualquer ponto x . A derivada de f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x é:
f'(x) = ddx(2x^3) - ddx(x^2) - ddx(4x)
Calculando cada derivada:
ddx(2x^3) = 6x^2
ddx(x^2) = 2x
ddx(4x) = 4
Então, a derivada é:
f'(x) = 6x^2 - 2x - 4

Passo 4

Vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto x = -1 substituindo na derivada:
f'(-1) = 6(-1)^2 - 2(-1) - 4
Calculando:
6(1) = 6
-2(-1) = 2
-4 = -4
Somando tudo:
6 + 2 - 4 = 4
Portanto, a inclinação da reta tangente é mtan>=nte = 4 .

Passo 5

A reta normal é perpendicular à reta tangente no mesmo ponto. A inclinação da reta normal mnormal é o recíproco negativo da inclinação da reta tangente. Ou seja:
mnormal = -1mtan>=nte = -14
Então, a inclinação da reta normal é mnormal = -14 .

Passo 6

Agora, vamos usar a fórmula da equação da reta no formato ponto-inclinação, que é:
y - y1 = m(x - x1)
Onde (x1, y1) é o ponto pelo qual a reta passa e m é a inclinação da reta. Já temos o ponto (-1, 1) e a inclinação m = -14 . Substituindo:
y - 1 = -14(x - (-1))
y - 1 = -14(x + 1)

Resposta

A equação da reta normal ao gráfico de f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x no ponto a = -1 é:
y - 1 = -14(x + 1)
Ou, de forma simplificada:
y = -14x + 34

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