Determine a equação da reta normal ao gráfico de cada uma das funções do exercício anterior, no mesmo ponto
indicado.
, em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta normal ao gráfico da função
no ponto onde
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, já que elas nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangentes e normais a uma curva em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
. Isso vai nos dar as coordenadas do ponto no qual vamos determinar a reta normal. Vamos substituir
na função:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Então, o ponto de interesse é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função
, que nos dará a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
. A derivada de
é:
Calculando cada derivada:
Então, a derivada é:
Passo 4
Vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto
substituindo na derivada:
Calculando:
Somando tudo:
Portanto, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 5
A reta normal é perpendicular à reta tangente no mesmo ponto. A inclinação da reta normal
é o recíproco negativo da inclinação da reta tangente. Ou seja:
Então, a inclinação da reta normal é
.
Passo 6
Agora, vamos usar a fórmula da equação da reta no formato ponto-inclinação, que é:
Onde
é o ponto pelo qual a reta passa e
é a inclinação da reta. Já temos o ponto
e a inclinação
. Substituindo:
Resposta
A equação da reta normal ao gráfico de
no ponto
é:
Ou, de forma simplificada: