Para cada um dos itens abaixo, determine o centro e o raio da circunferência de equação dada. Em seguida, dê a sua parametrização.
Passo 1
O enunciado dá a equação da circunferência
e pede duas coisas: (1) determinar o centro e o raio dessa circunferência; (2) fornecer uma parametrização da mesma. As informações relevantes são exatamente a equação acima e o pedido de centro, raio e parametrização.
Passo 2
Primeiro vamos recordar a forma padrão de uma circunferência e o que cada termo significa. A forma padrão é
onde:
-
e são as coordenadas do centro da circunferência ; -
é o raio da circunferência; - a igualdade mostra que a distância do ponto
até o centro é sempre .
Essa forma é direta: basta comparar a equação dada com essa forma padrão para identificar
,
e
.
Passo 3
Comparando
com a forma padrão
, vemos que:
-
(porque aparece ), -
(porque aparece ), -
, portanto (escolhe-se o sinal positivo para o raio).
Concluímos que o centro é
e o raio é
.
Passo 4
Agora a parametrização. Para entender a parametrização, lembre o caso da circunferência unidade centrada em
: uma parametrização clássica é
com
, porque
garante que o ponto
está sempre na circunferência de raio
centrada na origem. Essa parametrização descreve a volta no sentido anti-horário quando
cresce.
Passo 5
Para uma circunferência geral de centro
e raio
, obtém-se a parametrização aplicando uma dilatação (multiplicar por
) e uma translação (somar
) à circunferência unidade. Assim a parametrização geral é
com
.
Explicando em palavras: a parte
gera a volta de raio
ao redor da origem; ao somar
desloca-se essa volta para o centro
.
Passo 6
Aplicando isso ao nosso caso, com
,
e
, obtemos a parametrização
Em forma vetorial:
Passo 7
Verificação rápida (sempre bom checar na prova): substituindo na equação,
logo a parametrização realmente produz pontos da circunferência para todo
.
Passo 8
Observações extras úteis para a prova:
- Pode-se usar qualquer intervalo de comprimento
para o parâmetro (por exemplo ou ); a escolha habitual é . - Para inverter a orientação (fazer a volta no sentido horário) basta trocar
por na parametrização, por exemplo . - Em forma complexa (às vezes útil), a parametrização é
, que corresponde a .
Resposta
Centro:
Raio:
Parametrização:
Raio:
Parametrização: