Para cada um dos itens abaixo, determine o centro e o raio da circunferência de equação dada. Em seguida, dê a sua parametrização.
(x-1)^{2}+y^{2}=1

Passo 1

O enunciado dá a equação da circunferência
(x-1)^{2}+y^{2}=1
e pede duas coisas: (1) determinar o centro e o raio dessa circunferência; (2) fornecer uma parametrização da mesma. As informações relevantes são exatamente a equação acima e o pedido de centro, raio e parametrização.

Passo 2

Primeiro vamos recordar a forma padrão de uma circunferência e o que cada termo significa. A forma padrão é
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2},
onde:
  • \,a e \,b são as coordenadas do centro da circunferência (a,b);
  • \,r>0 é o raio da circunferência;
  • a igualdade mostra que a distância do ponto (x,y) até o centro (a,b) é sempre r.
Essa forma é direta: basta comparar a equação dada com essa forma padrão para identificar a, b e r.

Passo 3

Comparando
(x-1)^{2}+y^{2}=1
com a forma padrão (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}, vemos que:
  • a=1 (porque aparece (x-1)^{2}),
  • b=0 (porque aparece y^{2}=(y-0)^{2}),
  • r^{2}=1, portanto r=1 (escolhe-se o sinal positivo para o raio).
Concluímos que o centro é (1,0) e o raio é 1.

Passo 4

Agora a parametrização. Para entender a parametrização, lembre o caso da circunferência unidade centrada em (0,0): uma parametrização clássica é
x=\cos t,\qquad y=\sin t,
com t\in[0,2\pi), porque \cos^{2}t+\sin^{2}t=1 garante que o ponto (\cos t,\sin t) está sempre na circunferência de raio 1 centrada na origem. Essa parametrização descreve a volta no sentido anti-horário quando t cresce.

Passo 5

Para uma circunferência geral de centro (a,b) e raio r, obtém-se a parametrização aplicando uma dilatação (multiplicar por r) e uma translação (somar (a,b)) à circunferência unidade. Assim a parametrização geral é
x(t)=a+r\cos t,\qquad y(t)=b+r\sin t,
com t\in[0,2\pi).
Explicando em palavras: a parte r\cos t,\,r\sin t gera a volta de raio r ao redor da origem; ao somar (a,b) desloca-se essa volta para o centro (a,b).

Passo 6

Aplicando isso ao nosso caso, com a=1, b=0 e r=1, obtemos a parametrização
x(t)=1+\cos t,\qquad y(t)=\sin t,\qquad t\in[0,2\pi).
Em forma vetorial:
\vec{r}(t)=(1,0)+(\cos t,\sin t).

Passo 7

Verificação rápida (sempre bom checar na prova): substituindo na equação,
(x(t)-1)^{2}+y(t)^{2}=(\cos t)^{2}+(\sin t)^{2}=1,
logo a parametrização realmente produz pontos da circunferência para todo t.

Passo 8

Observações extras úteis para a prova:
  • Pode-se usar qualquer intervalo de comprimento 2\pi para o parâmetro (por exemplo [-\pi,\pi) ou [0,2\pi)); a escolha habitual é [0,2\pi).
  • Para inverter a orientação (fazer a volta no sentido horário) basta trocar t por -t na parametrização, por exemplo (1+\cos(-t),\sin(-t))=(1+\cos t,-\sin t).
  • Em forma complexa (às vezes útil), a parametrização é \,z(t)=1+e^{it}\,, que corresponde a (1+\cos t,\sin t).

Resposta

Centro: (1,0)
Raio: 1
Parametrização: \;x(t)=1+\cos t,\;y(t)=\sin t,\;t\in[0,2\pi)

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