Para cada um dos itens abaixo, determine o centro e o raio da circunferência de equação dada. Em seguida, dê a sua parametrização.
(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=2

Passo 1

O enunciado dá a equação
(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=2,
e pede duas coisas:
  • determinar o centro e o raio da circunferência;
  • dar uma parametrização da circunferência.
Informações relevantes dadas:
  • A equação está escrita no que parece ser a forma (x-a)^2+(y-b)^2=\text{constante}.
  • A constante do lado direito é 2.

Passo 2

Entendendo a forma padrão da equação de uma circunferência.
A forma padrão (canônica) de uma circunferência no plano é
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2,
onde:
  • (a,b) é o centro da circunferência;
  • r é o raio (um número não negativo) e r^2 é o quadrado do raio.
Explicação curta: essa forma vem da definição geométrica do círculo como conjunto de pontos cuja distância até o ponto (a,b) é r. A distância euclidiana ao quadrado é (x-a)^2+(y-b)^2, por isso essa equação.

Passo 3

Identificar o centro e o raio a partir da equação dada.
Comparando
(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=2
com a forma (x-a)^2+(y-b)^2=r^2, obtemos diretamente:
  • centro (a,b)=(2,1);
  • r^2=2, logo o raio é
r=\sqrt{2}.
Comentário prático: sempre toma-se a raiz positiva para o raio, pois raio é uma distância.

Passo 4

Ideia da parametrização: usar a parametrização do círculo unitário e escalar/deslocar.
A circunferência de centro (a,b) e raio r pode ser parametrizada tomando um ângulo t e escrevendo
x-a=r\cos t,\qquad y-b=r\sin t,
porque o par (\cos t,\sin t) descreve o círculo unitário \cos^2 t+\sin^2 t=1. Multiplicando por r obtemos raio r, e somando (a,b) deslocamos o centro para (a,b).

Passo 5

Construir a parametrização para o caso específico.
Usando a=2, b=1 e r=\sqrt{2}, tomamos um parâmetro t (ângulo). Uma parametrização conveniente é
x(t)=2+\sqrt{2}\cos t,\qquad y(t)=1+\sqrt{2}\sin t,
com t\in[0,2\pi) (ou t\in\mathbb{R}, a parametrização é periódica de período 2\pi).
Aqui:
  • t é o ângulo medido a partir da direção positiva do eixo x no sistema deslocado ao centro (2,1);
  • quando t cresce de 0 a 2\pi, a parametrização percorre a circunferência uma vez no sentido anti-horário.

Passo 6

Verificação direta de que a parametrização satisfaz a equação da circunferência.
Substituindo x(t) e y(t) na equação:
(x(t)-2)^2+(y(t)-1)^2=(\sqrt{2}\cos t)^2+(\sqrt{2}\sin t)^2
=2\cos^2 t+2\sin^2 t=2(\cos^2 t+\sin^2 t)=2\cdot 1=2.
Portanto a parametrização gera só pontos que satisfazem a equação dada, como desejado.

Passo 7

Observações finais e variações úteis para a prova.
  • Orientação: a parametrização dada percorre a circunferência no sentido anti-horário. Para percorrer no sentido horário, basta trocar t por -t, ou usar \cos t,\sin(-t)= -\sin t.
  • Forma vetorial compacta que pode ser útil:
\mathbf{r}(t)=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}+\sqrt{2}\begin{pmatrix}\cos t\\[4pt]\sin t\end{pmatrix},\qquad t\in[0,2\pi).
  • Dica de prova: se a equação não vier em forma canônica, complete quadrados para chegar a (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 e então proceda do mesmo jeito.]

Resposta

Centro: (2,1)
Raio: \sqrt{2}
Parametrização: \displaystyle x(t)=2+\sqrt{2}\cos t,\quad y(t)=1+\sqrt{2}\sin t,\quad t\in[0,2\pi)

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