Para cada um dos itens abaixo, determine o centro e o raio da circunferência de equação dada. Em seguida, dê a sua parametrização.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede duas coisas:
- determinar o centro e o raio da circunferência;
- dar uma parametrização da circunferência.
Informações relevantes dadas:
- A equação está escrita no que parece ser a forma
. - A constante do lado direito é
.
Passo 2
Entendendo a forma padrão da equação de uma circunferência.
A forma padrão (canônica) de uma circunferência no plano é
onde:
-
é o centro da circunferência; -
é o raio (um número não negativo) e é o quadrado do raio.
Explicação curta: essa forma vem da definição geométrica do círculo como conjunto de pontos cuja distância até o ponto
é
. A distância euclidiana ao quadrado é
, por isso essa equação.
Passo 3
Identificar o centro e o raio a partir da equação dada.
Comparando
com a forma
, obtemos diretamente:
- centro
; -
, logo o raio é
Comentário prático: sempre toma-se a raiz positiva para o raio, pois raio é uma distância.
Passo 4
Ideia da parametrização: usar a parametrização do círculo unitário e escalar/deslocar.
A circunferência de centro
e raio
pode ser parametrizada tomando um ângulo
e escrevendo
porque o par
descreve o círculo unitário
. Multiplicando por
obtemos raio
, e somando
deslocamos o centro para
.
Passo 5
Construir a parametrização para o caso específico.
Usando
,
e
, tomamos um parâmetro
(ângulo). Uma parametrização conveniente é
com
(ou
, a parametrização é periódica de período
).
Aqui:
-
é o ângulo medido a partir da direção positiva do eixo no sistema deslocado ao centro ; - quando
cresce de a , a parametrização percorre a circunferência uma vez no sentido anti-horário.
Passo 6
Verificação direta de que a parametrização satisfaz a equação da circunferência.
Substituindo
e
na equação:
Portanto a parametrização gera só pontos que satisfazem a equação dada, como desejado.
Passo 7
Observações finais e variações úteis para a prova.
- Orientação: a parametrização dada percorre a circunferência no sentido anti-horário. Para percorrer no sentido horário, basta trocar
por , ou usar . - Forma vetorial compacta que pode ser útil:
- Dica de prova: se a equação não vier em forma canônica, complete quadrados para chegar a
e então proceda do mesmo jeito.]
Resposta
Centro:
Raio:
Parametrização:
Raio:
Parametrização: