Para cada um dos itens abaixo, faça o que se pede.
Determine a equação da reta que passa pelo ponto ( 1,-1 ) e que seja paralela ao vetor \vec{v}=(-1,1).

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • Ponto por onde a reta passa: (1,-1).
  • Vetor paralelo à reta: \vec{v}=(-1,1).
O que se pede: determinar a equação da reta que passa por (1,-1) e é paralela a \vec{v}.

Passo 2

Ideia principal (fórmula útil): uma reta no plano pode ser escrita na forma vetorial/paramétrica a partir de um ponto \mathbf{r}_0 e de um vetor diretor \vec{v}. A fórmula é
\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0+t\vec{v},
onde:
  • \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)) é qualquer ponto da reta, depende do parâmetro t\in\mathbb{R};
  • \mathbf{r}_0 é um ponto conhecido da reta (aqui (1,-1));
  • \vec{v}=(v_x,v_y) é um vetor diretor da reta (aqui (-1,1)).
Outra ideia útil: o coeficiente angular (inclinação) m da reta é dado por
m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{v_y}{v_x},
desde que v_x\neq0. Esse m aparece na forma y=mx+b.

Passo 3

Aplicando a fórmula vetorial com \mathbf{r}_0=(1,-1) e \vec{v}=(-1,1) obtemos a equação vetorial/paramétrica:
(x,y)=(1,-1)+t(-1,1),\qquad t\in\mathbb{R}.
Separando em componentes isso vira
x=1-t,\qquad y=-1+t.

Passo 4

Converter para a forma cartesiana (eliminar t): da primeira equação x=1-t temos
t=1-x.
Da segunda equação y=-1+t temos
t=y+1.
Igualando as duas expressões para t:
1-x=y+1.
Subtraindo 1 de ambos os lados e reorganizando:
-x=y \quad\Rightarrow\quad x+y=0.
Isolando y na forma mais usada:
y=-x.

Passo 5

Verificações rápidas (para ficar seguro na prova):
  • Substituir o ponto (1,-1) em y=-x: -1 = -1, OK — a reta passa pelo ponto.
  • O vetor diretor de y=-x pode ser tomado como (-1,1) (ou qualquer múltiplo), que é exatamente \vec{v} dado — então a reta é paralela a \vec{v}.

Passo 6

Resumo prático para a prova: quando der um ponto e um vetor diretor, é direto escrever a forma vetorial/paramétrica e, se pedirem, transformar para a forma cartesiana isolando o parâmetro como fizemos. Mantém-se organizado: primeiro a forma vetorial, depois elimina-se t para achar x e y ligados por uma equação.

Resposta

(x,y)=(1,-1)+t(-1,1),\\ t\in\mathbb{R}
y=-x

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