Provar que, se
e
divergem, então
pode convergir ou divergir?
Dê exemplos.
Dê exemplos.
Passo 1
O enunciado pede que se prove que, dado que as séries
e
divergem, a série
pode tanto convergir quanto divergir. Além disso, pede exemplos que mostrem os dois comportamentos.
Informações relevantes que o enunciado dá:
Informações relevantes que o enunciado dá:
- As duas séries individuais divergem (ou seja, não convergem).
- Deve-se mostrar com exemplos que a série das somas termo a termo pode convergir em alguns casos e divergir em outros.
Passo 2
Lembrando a definição (para eu e você entenderem certinho): uma série
converge se a sequência dos somatórios parciais
tem limite finito quando
. Se essa sequência de somatórios parciais não tem limite finito (por exemplo tende a
, a
ou não tem limite nenhum), dizemos que a série diverge.
Uma propriedade linear fácil: se e
convergem (ambas), então
converge e
Uma propriedade linear fácil: se
Mas atenção: a recíproca NÃO é verdadeira: mesmo que ambas as séries diverguem, a série das somas pode convergir — ou pode divergir. Vamos provar isso por exemplos concretos (contraexemplos são provas válidas aqui).
Passo 3
Exemplo que mostra que
pode convergir mesmo quando cada uma das séries diverge.
Escolhe-se para todo
:
Verificações:
- Para
os somatórios parciais são
que tende a
quando
. Logo
diverge.
- Para
os somatórios parciais são
que tende a
. Logo
diverge.
- Para a série das somas, os somatórios parciais são
Assim
tem limite
. Portanto
converge (para
).
Comentário amigo: olha que beleza — duas séries que “vão para lados opostos” podem se cancelar perfeitamente e produzir convergência.
Comentário amigo: olha que beleza — duas séries que “vão para lados opostos” podem se cancelar perfeitamente e produzir convergência.
Passo 4
Exemplo que mostra que
pode divergir quando cada série diverge.
Escolhe-se para todo
:
Verificações:
- Cada uma das séries
é a série harmônica, cuja sequência de somatórios parciais diverge (conhecido: ). Logo e divergem. - A série das somas tem termos
e seus somatórios parciais são
, que também tendem a
. Logo
diverge.
Comentário amigo: aqui não há cancelamento — somou-se duas coisas que já divergem na mesma direção e o resultado diverge também.
Comentário amigo: aqui não há cancelamento — somou-se duas coisas que já divergem na mesma direção e o resultado diverge também.
Passo 5
Observações didáticas finais (para você sair confiante na prova):
- A propriedade linear das séries exige convergência individual para garantir que a soma das séries seja a soma das somas. Se ambas divergem, não há regra geral: o comportamento do termo a termo
decide tudo. - Intuitivamente, se os somatórios parciais de
e “se cancelam” quando somados (como ), pode haver convergência; se ambos crescem na mesma direção, a soma também tende a divergir. - Em provas use sempre a definição via somatórios parciais: calcule
, e veja o comportamento de .
Resposta
Sim: pode convergir ou pode divergir.
Exemplo de convergência: e
para todo
. Então
e
divergem, mas
converge (para
).
Exemplo de divergência: e
para todo
. Então
e
divergem (séries harmônicas) e
também diverge.
Exemplo de convergência:
Exemplo de divergência: