Provar que, se \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} e \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} divergem, então \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}+b_{n}\right) pode convergir ou divergir?
Dê exemplos.

Passo 1

O enunciado pede que se prove que, dado que as séries \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} e \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} divergem, a série \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}+b_{n}\right) pode tanto convergir quanto divergir. Além disso, pede exemplos que mostrem os dois comportamentos.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • As duas séries individuais divergem (ou seja, não convergem).
  • Deve-se mostrar com exemplos que a série das somas termo a termo pode convergir em alguns casos e divergir em outros.

Passo 2

Lembrando a definição (para eu e você entenderem certinho): uma série \sum_{n=1}^{\infty} x_{n} converge se a sequência dos somatórios parciais
S_N=\sum_{n=1}^{N} x_{n}
tem limite finito quando N\to\infty. Se essa sequência de somatórios parciais não tem limite finito (por exemplo tende a +\infty, a -\infty ou não tem limite nenhum), dizemos que a série diverge.
Uma propriedade linear fácil: se \sum a_n e \sum b_n convergem (ambas), então \sum (a_n+b_n) converge e
\sum_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n+\sum_{n=1}^{\infty}b_n.
Mas atenção: a recíproca NÃO é verdadeira: mesmo que ambas as séries diverguem, a série das somas pode convergir — ou pode divergir. Vamos provar isso por exemplos concretos (contraexemplos são provas válidas aqui).

Passo 3

Exemplo que mostra que \sum (a_n+b_n) pode convergir mesmo quando cada uma das séries diverge.
Escolhe-se para todo n:
a_n=1,\qquad b_n=-1.
Verificações:
  • Para \sum_{n=1}^{\infty} a_n os somatórios parciais são
S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n=\sum_{n=1}^{N}1=N,
que tende a +\infty quando N\to\infty. Logo \sum a_n diverge.
  • Para \sum_{n=1}^{\infty} b_n os somatórios parciais são
T_N=\sum_{n=1}^{N} b_n=\sum_{n=1}^{N}(-1)=-N,
que tende a -\infty. Logo \sum b_n diverge.
  • Para a série das somas, os somatórios parciais são
U_N=\sum_{n=1}^{N}(a_n+b_n)=\sum_{n=1}^{N}(1-1)=\sum_{n=1}^{N}0=0.
Assim U_N tem limite 0. Portanto \sum_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n) converge (para 0).
Comentário amigo: olha que beleza — duas séries que “vão para lados opostos” podem se cancelar perfeitamente e produzir convergência.

Passo 4

Exemplo que mostra que \sum (a_n+b_n) pode divergir quando cada série diverge.
Escolhe-se para todo n:
a_n=\frac{1}{n},\qquad b_n=\frac{1}{n}.
Verificações:
  • Cada uma das séries \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} é a série harmônica, cuja sequência de somatórios parciais H_N=\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n} diverge (conhecido: H_N\to\infty). Logo \sum a_n e \sum b_n divergem.
  • A série das somas tem termos
a_n+b_n=\frac{1}{n}+\frac{1}{n}=\frac{2}{n},
e seus somatórios parciais são 2H_N, que também tendem a +\infty. Logo \sum_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n) diverge.
Comentário amigo: aqui não há cancelamento — somou-se duas coisas que já divergem na mesma direção e o resultado diverge também.

Passo 5

Observações didáticas finais (para você sair confiante na prova):
  • A propriedade linear das séries exige convergência individual para garantir que a soma das séries seja a soma das somas. Se ambas divergem, não há regra geral: o comportamento do termo a termo (a_n+b_n) decide tudo.
  • Intuitivamente, se os somatórios parciais de \sum a_n e \sum b_n “se cancelam” quando somados (como N + (-N)=0), pode haver convergência; se ambos crescem na mesma direção, a soma também tende a divergir.
  • Em provas use sempre a definição via somatórios parciais: calcule S_N=\sum_{n=1}^N a_n, T_N=\sum_{n=1}^N b_n e veja o comportamento de S_N+T_N.

Resposta

Sim: pode convergir ou pode divergir.
Exemplo de convergência: a_n=1 e b_n=-1 para todo n. Então \sum a_n e \sum b_n divergem, mas \sum (a_n+b_n)=\sum 0 converge (para 0).
Exemplo de divergência: a_n=\dfrac{1}{n} e b_n=\dfrac{1}{n} para todo n. Então \sum a_n e \sum b_n divergem (séries harmônicas) e \sum (a_n+b_n)=\sum \dfrac{2}{n} também diverge.

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