Para cada um dos itens abaixo, determine o centro e o raio da circunferência de equação dada. Em seguida, dê a sua parametrização.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (resumido):
- Foi dada a equação da circunferência
- Perguntas: encontrar o centro, o raio e uma parametrização da circunferência.
Passo 2
Vamos transformar a equação para a forma padrão de uma circunferência, que é
onde
é o centro e
o raio. Para isto usamos completar o quadrado em
e em
.
Regra útil (completar o quadrado): para qualquer número real
,
Aqui temos termos lineares
e
. Aplicando a regra:
Para
:
pois
e
.
Para
:
pois
e
.
Passo 3
Substituindo essas identidades na equação original:
Agrupando os termos constantes no lado direito:
Logo
Passo 4
Interpretação da forma padrão:
- O centro
é o par que aparece dentro dos parênteses com sinal trocado: aqui e . Ou seja, o centro é . - O quadrado do raio é
. Como raio é não-negativo, .
Pequena verificação mental: se eu substituir
e
na expressão original, os termos quadráticos e lineares se cancelam de modo compatível com o desenvolvimento acima; e a distância do centro até um ponto da circunferência é
.
Passo 5
Agora a parametrização. Lembrando a parametrização padrão de uma circunferência de centro na origem e raio
Para uma circunferência centrada em
a
e
a
. Assim, para nosso caso (
,
,
):
Explicação curta do porquê:
obtém-se raio
; somando
desloca o centro para
.]
Passo 6
Observações úteis para a prova (rápidas dicas):
- Se pedirem outra orientação, pode trocar
por para inverter o sentido (horário/anti-horário). - Qualquer parâmetro
representa a mesma curva; frequentemente toma-se para uma volta completa. - Em provas, mostrar o passo de completar o quadrado é obrigatório para justificar centro e raio.
Resposta
Centro:
Raio:
Parametrização:
Raio:
Parametrização: