Para cada um dos itens abaixo, determine o centro e o raio da circunferência de equação dada. Em seguida, dê a sua parametrização.
x^{2}-2 x+y^{2}-6 y=6

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (resumido):
  • Foi dada a equação da circunferência
x^{2}-2x+y^{2}-6y=6.
  • Perguntas: encontrar o centro, o raio e uma parametrização da circunferência.

Passo 2

Vamos transformar a equação para a forma padrão de uma circunferência, que é
(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=R^{2},
onde (h,k) é o centro e R o raio. Para isto usamos completar o quadrado em x e em y.
Regra útil (completar o quadrado): para qualquer número real b,
x^{2}+bx=\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}-\left(\frac{b}{2}\right)^{2}.
Aqui temos termos lineares -2x e -6y. Aplicando a regra:
Para x^{2}-2x:
x^{2}-2x=\left(x-1\right)^{2}-1,
pois \dfrac{-2}{2}=-1 e (-1)^{2}=1.
Para y^{2}-6y:
y^{2}-6y=\left(y-3\right)^{2}-9,
pois \dfrac{-6}{2}=-3 e (-3)^{2}=9.

Passo 3

Substituindo essas identidades na equação original:
\left(x-1\right)^{2}-1+\left(y-3\right)^{2}-9=6.
Agrupando os termos constantes no lado direito:
\left(x-1\right)^{2}+\left(y-3\right)^{2}=6+1+9.
Logo
\left(x-1\right)^{2}+\left(y-3\right)^{2}=16.

Passo 4

Interpretação da forma padrão:
  • O centro (h,k) é o par que aparece dentro dos parênteses com sinal trocado: aqui h=1 e k=3. Ou seja, o centro é (1,3).
  • O quadrado do raio é R^{2}=16. Como raio é não-negativo, R=4.
Pequena verificação mental: se eu substituir x=1 e y=3 na expressão original, os termos quadráticos e lineares se cancelam de modo compatível com o desenvolvimento acima; e a distância do centro até um ponto da circunferência é 4.

Passo 5

Agora a parametrização. Lembrando a parametrização padrão de uma circunferência de centro na origem e raio R\): \[\begin{cases} x = R\cos t,\\[4pt] y = R\sin t, \end{cases}\qquad t\in[0,2\pi).
Para uma circunferência centrada em (h,k)\] fazemos a translação: somamos \[h a x e k a y. Assim, para nosso caso ( h=1, k=3, R=4):
\begin{cases} x(t)=1+4\cos t,\\[4pt] y(t)=3+4\sin t, \end{cases}\qquad t\in[0,2\pi).
Explicação curta do porquê: (\cos t,\sin t)\] percorre o círculo unitário centrado na origem; multiplicando por \(4 obtém-se raio 4; somando (1,3) desloca o centro para (1,3).]

Passo 6

Observações úteis para a prova (rápidas dicas):
  • Se pedirem outra orientação, pode trocar t por -t para inverter o sentido (horário/anti-horário).
  • Qualquer parâmetro t\in\mathbb{R} representa a mesma curva; frequentemente toma-se t\in[0,2\pi) para uma volta completa.
  • Em provas, mostrar o passo de completar o quadrado é obrigatório para justificar centro e raio.

Resposta

Centro: (1,3)
Raio: 4
Parametrização: \displaystyle x(t)=1+4\cos t,\quad y(t)=3+4\sin t,\quad t\in[0,2\pi)

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