Para cada um dos itens abaixo, determine o centro e o raio da circunferência de equação dada. Em seguida, dê a sua parametrização.
x^{2}+y^{2}+3 x-2 y=0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a circunferência dada pela equação
x^{2}+y^{2}+3x-2y=0
  1. Determinar o centro e o raio da circunferência.
  2. Dar uma parametrização (ou seja, expressar x e y em função de um parâmetro, normalmente um ângulo t).
    Informações dadas: a equação em coordenadas cartesianas com termos quadráticos e termos lineares em x e y, sem termo constante à direita (é igual a 0).

Passo 2

Ideia usada para encontrar centro e raio: colocar a equação na forma padrão da circunferência centrada em (x_0,y_0),
(x-x_0)^{2}+(y-y_0)^{2}=r^{2}.
Para isso vamos completar o quadrado nos termos em x e nos termos em y. A técnica de completar o quadrado para um polinômio quadrático em x diz que, para um coeficiente linear b,
x^{2}+b x = \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}-\left(\frac{b}{2}\right)^{2}.
Vou aplicar isso separadamente aos termos em x e em y.

Passo 3

Começo pelo termo em x. Na nossa equação o coeficiente linear em x é 3. Então
x^{2}+3x=\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}-\left(\frac{3}{2}\right)^{2}.

Passo 4

Agora o termo em y. O coeficiente linear em y é -2. Aplicando a mesma ideia,
y^{2}-2y=\left(y-1\right)^{2}-1^{2}.

Passo 5

Substituo as duas identidades na equação original. Parto de
x^{2}+y^{2}+3x-2y=0.
Substituindo os quadrados completos:
\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}-\left(\frac{3}{2}\right)^{2}+\left(y-1\right)^{2}-1=0.
Agora isolo os quadrados perfeitos no lado esquerdo e passo as constantes para o lado direito:
\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}+\left(y-1\right)^{2}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}+1.
Calculo o lado direito explicitamente:
\left(\frac{3}{2}\right)^{2}+1=\frac{9}{4}+1=\frac{9}{4}+\frac{4}{4}=\frac{13}{4}.

Passo 6

Agora temos a equação na forma padrão:
\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}+\left(y-1\right)^{2}=\frac{13}{4}.
Dessa forma o centro (x_0,y_0) e o raio r são:
  • Centro: \displaystyle \left(-\frac{3}{2},\,1\right). (Porque a forma é (x-(-3/2))^2+(y-1)^2=\cdots.)
  • Raio: \displaystyle r=\sqrt{\frac{13}{4}}=\frac{\sqrt{13}}{2}.

Passo 7

Parametrização: uma parametrização conveniente da circunferência de centro \left(x_0,y_0\right) e raio r é
x(t)=x_0+r\cos t,\qquad y(t)=y_0+r\sin t,\qquad t\in[0,2\pi).
Substituindo x_0=-\dfrac{3}{2}, y_0=1 e r=\dfrac{\sqrt{13}}{2} obtemos
x(t)=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{13}}{2}\cos t, \qquad y(t)=1+\frac{\sqrt{13}}{2}\sin t, \qquad t\in[0,2\pi).
Verificação rápida (pra ficar tranquilo): substituindo na equação da circunferência,
\left(x(t)+\frac{3}{2}\right)^{2}+\left(y(t)-1\right)^{2}=\left(\frac{\sqrt{13}}{2}\cos t\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{13}}{2}\sin t\right)^{2} =\frac{13}{4}\bigl(\cos^{2}t+\sin^{2}t\bigr)=\frac{13}{4},
pois \cos^{2}t+\sin^{2}t=1. Logo a parametrização realmente gera todos os pontos da circunferência.

Resposta

Centro: \left(-\dfrac{3}{2},\,1\right)
Raio: \dfrac{\sqrt{13}}{2}
Parametrização: \displaystyle x(t)=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{13}}{2}\cos t,\quad y(t)=1+\frac{\sqrt{13}}{2}\sin t,\quad t\in[0,2\pi)

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