Para cada um dos itens abaixo, determine o centro e o raio da circunferência de equação dada. Em seguida, dê a sua parametrização.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a circunferência dada pela equação
- Determinar o centro e o raio da circunferência.
- Dar uma parametrização (ou seja, expressar
e em função de um parâmetro, normalmente um ângulo ).
Informações dadas: a equação em coordenadas cartesianas com termos quadráticos e termos lineares eme , sem termo constante à direita (é igual a ).
Passo 2
Ideia usada para encontrar centro e raio: colocar a equação na forma padrão da circunferência centrada em
,
Para isso vamos completar o quadrado nos termos em
e nos termos em
. A técnica de completar o quadrado para um polinômio quadrático em
diz que, para um coeficiente linear
,
Vou aplicar isso separadamente aos termos em
e em
.
Passo 3
Começo pelo termo em
. Na nossa equação o coeficiente linear em
é
. Então
Passo 4
Agora o termo em
. O coeficiente linear em
é
. Aplicando a mesma ideia,
Passo 5
Substituo as duas identidades na equação original. Parto de
Substituindo os quadrados completos:
Agora isolo os quadrados perfeitos no lado esquerdo e passo as constantes para o lado direito:
Calculo o lado direito explicitamente:
Passo 6
Agora temos a equação na forma padrão:
Dessa forma o centro
e o raio
são:
- Centro:
. (Porque a forma é .) - Raio:
Passo 7
Parametrização: uma parametrização conveniente da circunferência de centro
e raio
é
Substituindo
,
e
obtemos
Verificação rápida (pra ficar tranquilo): substituindo na equação da circunferência,
pois
. Logo a parametrização realmente gera todos os pontos da circunferência.
Resposta
Centro:
Raio:
Parametrização:
Raio:
Parametrização: