Para cada um dos itens abaixo determine o dominio de ( ), e .
.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio de r(t), de sua primeira derivada r'(t) e de sua segunda derivada r''(t), onde
r(t)=l(raizt,,e^2t,,tr)
O conteúdo envolve análise de domínio de funções reais (cada componente) e diferenciação termo a termo de funções vetoriais.

Passo 2

Para encontrar Dom,r analisamos cada componente:
  • raizt está definida para t>=0.
  • e^2t está definida para todo tinR.
  • t está definido para todo tinR.
    A interseção desses domínios é
Dom,r=[0,infty)

Passo 3

Agora calculamos a primeira derivada componente a componente:
r'(t) =l(tfracddtraizt,,tfracddte^2t,,tfracddttr) =l(tfrac12raizt,,2e^2t,,1r)
Para tfrac12raizt precisamos de t>0. As outras componentes estão definidas para todo t. Logo
Dom,r'=(0,infty)

Passo 4

Seguindo, a segunda derivada é
r''(t) =l(tfracddttfrac12raizt,,tfracddt(2e^2t),,tfracddt1r) =l(-tfrac14,t^3/2,,4e^2t,,0r)
O termo -tfrac14,t^3/2 exige t>0, e as demais estão definidas para todo t. Assim
Dom,r''=(0,infty)

Resposta

Dom,r=[0,infty)
Dom,r'=(0,infty)
Dom,r''=(0,infty)

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