Determine r(t), se r^prime(t)=(sen t, cos t, 2 t) e r(0)=(1,1,2)

Passo 1

O enunciado nos dá r'(t)=(sin t,cos t,2t) e a condição inicial r(0)=(1,1,2). O conteúdo é integração de funções vetor-componente a componente e ajuste das constantes de integração.

Passo 2

Integramos cada componente de r'(t):
integral sen t,dt = -cos t + C1, integral cos t,dt = sin t + C2, integral 2t,dt = t^2 + C3
Assim, a solução geral é
r(t)=l(-cos t + C1,;sin t + C2,;t^2 + C3r)

Passo 3

Usamos r(0)=(1,1,2). Avaliando em t=0:
-cos0 + C1=1implies -1+C1=1implies C1=2,
sin0 + C2=1implies 0+C2=1implies C2=1,
0^2+C3=2implies C3=2

Resposta

r(t)=l(2-cos t,;1+sin t,;t^2+2r)

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