Seja
uma curva parametrizada que não passa pela origem, se
é o ponto do traço de
mais perto à origem e
, prove que o vetor posição
é ortogonal a
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma curva
que não passa pela origem. O ponto
é o ponto mais próximo à origem nessa curva. Queremos provar que o vetor posição nesse ponto,
, é ortogonal (ou seja, forma um ângulo de 90 graus) com o vetor derivada da curva nesse ponto,
.
Conteúdo envolvido: Cálculo Vetorial, especificamente noções sobre derivadas de curvas e ortogonalidade de vetores.
O que vamos precisar:
- Conceito de distância entre pontos no espaço.
- Derivada de funções vetoriais.
- Condição de mínimo para funções.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a distância entre a origem e um ponto qualquer da curva
. A distância
pode ser calculada usando a norma do vetor posição:
Mas para facilitar as contas, vamos considerar a função ao quadrado da distância:
Passo 3
Como
é o ponto de mínimo de distância,
atinge seu menor valor em
. Para encontrar os pontos de mínimo de uma função, sabemos que a derivada da função nesse ponto deve ser zero.
Ou seja,
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
. Usando a regra da cadeia:
Isso pode ser escrito de forma mais compacta como:
Aqui,
representa o produto escalar entre os vetores
e
.
Passo 5
No ponto
, temos que
. Substituindo na expressão que encontramos:
Podemos dividir ambos os lados por 2:
Passo 6
O produto escalar
igual a zero implica que os vetores
e
são ortogonais. Ou seja, formam um ângulo de 90 graus entre si.
Resposta
Portanto, provamos que o vetor posição
é ortogonal ao vetor derivada
.