Seja alpha: I R^3 uma curva parametrizada que não passa pela origem, se alpha(t0) é o ponto do traço de alpha mais perto à origem e alpha^prime(t0) neq 0, prove que o vetor posição alpha(t0) é ortogonal a alpha^prime(t0).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma curva alpha: I R^3 que não passa pela origem. O ponto alpha(t0) é o ponto mais próximo à origem nessa curva. Queremos provar que o vetor posição nesse ponto, alpha(t0), é ortogonal (ou seja, forma um ângulo de 90 graus) com o vetor derivada da curva nesse ponto, alpha'(t0).
Conteúdo envolvido: Cálculo Vetorial, especificamente noções sobre derivadas de curvas e ortogonalidade de vetores.
O que vamos precisar:
  1. Conceito de distância entre pontos no espaço.
  2. Derivada de funções vetoriais.
  3. Condição de mínimo para funções.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a distância entre a origem e um ponto qualquer da curva alpha(t). A distância D pode ser calculada usando a norma do vetor posição:
D(t) = |alpha(t)| = raizalpha1(t)^2 + alpha2(t)^2 + alpha3(t)^2
Mas para facilitar as contas, vamos considerar a função ao quadrado da distância:
f(t) = |alpha(t)|^2 = alpha1(t)^2 + alpha2(t)^2 + alpha3(t)^2

Passo 3

Como alpha(t0) é o ponto de mínimo de distância, f(t) atinge seu menor valor em t = t0. Para encontrar os pontos de mínimo de uma função, sabemos que a derivada da função nesse ponto deve ser zero.
Ou seja, f'(t0) = 0.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de f(t). Usando a regra da cadeia:
f'(t) = 2alpha1(t)alpha'1(t) + 2alpha2(t)alpha'2(t) + 2alpha3(t)alpha'3(t)
Isso pode ser escrito de forma mais compacta como:
f'(t) = 2,alpha(t) cdot alpha'(t)
Aqui, cdot representa o produto escalar entre os vetores alpha(t) e alpha'(t).

Passo 5

No ponto t = t0, temos que f'(t0) = 0. Substituindo na expressão que encontramos:
0 = 2,alpha(t0) cdot alpha'(t0)
Podemos dividir ambos os lados por 2:
0 = alpha(t0) cdot alpha'(t0)

Passo 6

O produto escalar alpha(t0) cdot alpha'(t0) igual a zero implica que os vetores alpha(t0) e alpha'(t0) são ortogonais. Ou seja, formam um ângulo de 90 graus entre si.

Resposta

Portanto, provamos que o vetor posição alpha(t0) é ortogonal ao vetor derivada alpha'(t0).

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