Em cada um dos ítens abaixo determine se a função dada é injetora, sobrejetora, bijetora.
dada por
.
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para verificar se ela é injetora, sobrejetora e bijetora. Vamos usar a definição de injeção (função estritamente crescente) e de sobrejeção (imagem coincide com o contradomínio).
Passo 2
Para injetividade note que, para
,
ou seja,
. Logo
é estritamente crescente em
e, portanto, injetora.
Passo 3
Para verificar sobrejetividade, tomemos um valor arbitrário
em
e tentemos resolver
Isso dá
. Como
, precisamos que
, i.e.\
. Assim, só existem soluções
quando
. Valores em
não têm
no domínio com
. Logo
não atinge todo
e não é sobrejetora.
Passo 4
Como
é injetora mas não é sobrejetora, ela não pode ser bijetora (que exige ambas).
Resposta
– Injetora: sim.
– Sobrejetora: não.
– Bijetora: não.
– Sobrejetora: não.
– Bijetora: não.