Em cada um dos ítens abaixo determine se a função dada é injetora, sobrejetora, bijetora.
f:[0, \infty) \rightarrow[0, \infty) dada por f(x)=x^{2}+4.

Passo 1

O enunciado define a função
f\colon [0,\infty) \to [0,\infty),\qquad f(x)=x^2+4
e pede para verificar se ela é injetora, sobrejetora e bijetora. Vamos usar a definição de injeção (função estritamente crescente) e de sobrejeção (imagem coincide com o contradomínio).

Passo 2

Para injetividade note que, para x_1,x_2\ge0,
x_1<x_2\quad\Longrightarrow\quad x_1^2<x_2^2\quad\Longrightarrow\quad x_1^2+4<x_2^2+4
ou seja, f(x_1)<f(x_2). Logo f é estritamente crescente em [0,\infty) e, portanto, injetora.

Passo 3

Para verificar sobrejetividade, tomemos um valor arbitrário y em [0,\infty) e tentemos resolver
x^2+4=y.
Isso dá x^2=y-4. Como x^2\ge0, precisamos que y-4\ge0, i.e.\ y\ge4. Assim, só existem soluções x\ge0 quando y\in[4,\infty). Valores em [0,4) não têm x no domínio com f(x)=y. Logo f não atinge todo [0,\infty) e não é sobrejetora.

Passo 4

Como f é injetora mas não é sobrejetora, ela não pode ser bijetora (que exige ambas).

Resposta

– Injetora: sim.
– Sobrejetora: não.
– Bijetora: não.

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