Questão 1. Calcule
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x-\frac{x^{2}}{2}}{x^{4}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x-\tfrac{x^{2}}{2}}{x^{4}}.
O conteúdo envolvido é cálculo de limite de expressão indeterminada do tipo \frac{0}{0}. Para resolver, vamos usar a expansão em série de Taylor de \cos x em torno de x=0.

Passo 2

Lembrando a série de Taylor de \cos x até a ordem x^{4}:
\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + O(x^{6}).
Substituímos essa expansão no numerador 1-\cos x-\tfrac{x^{2}}{2}.

Passo 3

Fazendo a substituição:
1 - \cos x - \frac{x^{2}}{2} = 1 - \Bigl(1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + O(x^{6})\Bigr) - \frac{x^{2}}{2}.
Isso simplifica-se a
1 - 1 + \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{4}}{24} - \frac{x^{2}}{2} + O(x^{6}) = -\frac{x^{4}}{24} + O(x^{6}).

Passo 4

Dividindo pelo x^{4} e tomando o limite x\to0, temos
\frac{-\tfrac{x^{4}}{24} + O(x^{6})}{x^{4}} = -\frac{1}{24} + O(x^{2}) \;\xrightarrow[x\to0]{}\; -\frac{1}{24}.

Resposta

-\tfrac{1}{24}

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