Questão 1. Calcule
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (5 x)}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(5x)}{x^2},
que ao substituir x=0 dá a forma indeterminada 0/0. Para resolver, vamos usar a expansão de Taylor de \cos u em torno de u=0.

Passo 2

Sabemos que
\cos u = 1 - \frac{u^2}{2} + o(u^2)\quad\text{quando }u\to 0.
Aqui u=5x, logo
\cos(5x) = 1 - \frac{(5x)^2}{2} + o(x^2) = 1 - \frac{25x^2}{2} + o(x^2).
Então
1-\cos(5x) = \frac{25x^2}{2} + o(x^2).

Passo 3

Dividindo por x^2 e tomando limite:
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(5x)}{x^2} = \lim_{x\to 0}\Bigl(\frac{25}{2} + \frac{o(x^2)}{x^2}\Bigr) = \frac{25}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{25}{2}

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